Wie funktioniert die entartete zeitunabhängige Störungstheorie? [Duplikat]
Betrachten wir den üblichen Aufbau für die zeitunabhängige Störungstheorie:
$$H=H_0+\varepsilon H'$$
und wir können dann die übliche Erweiterung einrichten:
$$(H_0+\varepsilon H')[|n_0\rangle+\varepsilon |n_1\rangle+\varepsilon ^2 |n_2\rangle+...]=(E_n^{(0)}+\varepsilon E_n^{(1)}+\varepsilon ^2 E_n^{(2)}+...)[n_0\rangle+\varepsilon |n_1\rangle+\varepsilon ^2 |n_2\rangle+...]$$
Lange Rede, kurzer Sinn: Wenn wir ein Problem mithilfe der Störungstheorie lösen müssen, interessiert uns nur, wie die Korrekturen der Eigenzustände und der Eigenwerte berechnet werden.
Wenn es sich um eine zeitunabhängige, nicht entartete Störungstheorie handelt, ist diese Aufgabe einfach, sobald Sie die Formeln für die Korrekturen kennen:
$$E^{(k)}_n=\langle n_0|H'|n_{k-1}\rangle$$ $$|n_k\rangle=\frac{1}{H_0+E^{(0)}_n}|_{|n_0\rangle}[(E_n^{(1)}-H')|n_{k-1}\rangle+E_n^{(2)}|n_{k-2}\rangle+.....+E_n^{(k)}|n_0\rangle]$$
Erledigt! Wunderbar! Aber was ist natürlich, wenn unser Hamiltonianer entartet ist? In Lehrbüchern habe ich Gründe gefunden, warum die alten Formeln nicht funktionieren. Ich habe auch verstanden, dass in einigen Fällen die Störung die Entartung aufhebt und in anderen Fällen nicht. Und es gibt auch Gespräche über die Notwendigkeit, die Matrix im entarteten Raum zu diagonalisieren (dieser letzte Punkt ist mir im Moment nicht klar). OK. Aber in der Praxis: Wie kann ich die störende Expansion im entarteten Fall einrichten und lösen? Wie lauten die Formeln für die Korrektur? (Zu wissen, warum die Formeln funktionieren, wäre auch schön, aber es ist nicht der Hauptpunkt dieser Frage)
Das sind einfache Fragen, aber ich kann in meinen Büchern oder Vorlesungsunterlagen keine direkte Antwort finden. Ich hätte gerne eine schöne und prägnante Antwort. Dieses Thema erscheint mir als Anfänger sehr kompliziert und ich möchte eine Zusammenfassung dessen, was hier vor sich geht. Insbesondere aus praktischer Sicht, wie können wir Übungen und Erweiterungen im entarteten Fall lösen.
Antworten
Die Hauptidee hinter der Störungstheorie für entartete Zustände besteht darin, nicht nur Korrekturen zu finden, sondern auch die Zustände, die korrigiert werden. Nur bestimmte Staaten würden kleine Korrekturen erhalten, andere werden von korrigiert$O(1)$Begriffe. Betrachten wir als einfaches Beispiel. Stellen Sie sich ein zweistufiges System vor, das durch das folgende Hamilton- Modell gegeben ist: \ begin {Gleichung} H = \ left (\ begin {array} {ccc} m & \ varepsilon \\ \ varepsilon & m \ end {array} \ right), \ end { Gleichung} mit$\varepsilon \ll m$. Das System kann genau gelöst werden, indem \ begin {Gleichung} E_ \ pm = m \ pm \ varepsilon ~~ \ text {und} ~~ | angegeben wird \ psi_ \ pm \ rangle = \ left (\ begin {array} {ccc} 1 \\ \ pm 1 \ end {array} \ right). \ end {Gleichung} Stellen Sie sich nun vor, wir hätten versucht, dieses Ergebnis mithilfe der Störungstheorie zu erhalten. Der ungestörte Hamilton-Operator ist \ begin {Gleichung} H = \ left (\ begin {array} {ccc} m & 0 \\ 0 & m \ end {array} \ right), \ end {Gleichung} hat entartete Eigenzustände \ begin { Gleichung} | \ psi ^ {(0)} \ rangle = c_1 \ left (\ begin {array} {c} 1 \\ 0 \ end {array} \ right) + c_2 \ left (\ begin {array} {c} 0 \ \ 1 \ Ende {Array} \ rechts), \ Ende {Gleichung} alle mit Energie$E^{(0)}=m$. Es ist klar, dass nur, wenn Sie Ihre ungestörten Zustände als \ begin {Gleichung} | wählen \ psi ^ {(0)} _ {1,2} \ rangle = \ left (\ begin {array} {ccc} 1 \\ \ pm 1 \ end {array} \ right) \ end {Gleichung} Korrekturen aufgrund von Die Störung ist gering (in diesem Fall verschwindet sie). Wie können wir dieses Ergebnis erzielen, ohne das System genau zu lösen? Dafür wählen Sie eine beliebige Basis für das ungestörte System$| \varphi_i \rangle$und drücke die "wahren" ungestörten (und gestörten) Eigenzustände als lineare Kombinationen von diesen aus: \ begin {Gleichung} | \ psi ^ {(0)} _ i \ rangle = c ^ {(0)} _ {ij} | \ varphi_j \ rangle, ~~ \ text {und} ~~ | \ psi ^ {(1)} _ i \ rangle = c ^ {(1)} _ {ij} | \ varphi_j \ rangle. \ end {Gleichung} Dann multipliziere die Schrödinger-Gleichung \ begin {Gleichung} (H_0 + \ varepsilon V) \ left (| \ psi ^ {(0)} _ i \ rangle + \ varepsilon | \ psi ^ {(1)} _ i \ rangle \ right) = (E ^ {(0)} + \ varepsilon E ^ {(1)} _ i) \ left (| \ psi ^ {(0)} _ i \ rangle + \ varepsilon | \ psi ^ {(1 )} _ i \ rangle \ right) \ end {Gleichung} von$\langle \phi_k |$man bekommt \ begin {Gleichung} \ sum_ {j} \ langle \ varphi_k | V | \ varphi_j \ rangle c_ {ij} ^ {(0)} = E_i ^ {(1)} c_ {ik} ^ {(0)}. \ end {Gleichung} Auslassen des Index$i$wir sehen, dass diese Gleichungen nichts anderes sind als Gleichungen für Eigenzustände \ begin {Gleichung} \ sum_j V_ {kj} c_j = E ^ {(1)} c_k, \ end {Gleichung}, was dies impliziert$\det (V-E^{(1)})=0$. Aus dieser Gleichung$E_i^{(1)}$ und $c_{ij}^{(0)}$ werden gleichzeitig abgeleitet.
Zurück zu unserem Beispiel können wir \ begin {Gleichung} | wählen \ varphi_1 \ rangle = \ left (\ begin {array} {ccc} 1 \\ 0 \ end {array} \ right), ~~ \ text {und} ~~ | \ varphi_2 \ rangle = \ left (\ begin {array} {ccc} 0 \\ 1 \ end {array} \ right). \ end {Gleichung} Die Schrödinger-Gleichung wird zu \ begin {Gleichung} \ left (\ begin {array} {cc} m & \ varepsilon \\ \ varepsilon & m \ end {array} \ right) \ left (\ begin {array) } {ccc} c_ {i1} ^ {(0)} + \ varepsilon c_ {i1} ^ {(1)} \\ c_ {i2} ^ {(0)} + \ varepsilon c_ {i2} ^ {(1 )} \ end {array} \ right) = \ left (m + \ varepsilon E_i ^ {(1)} \ right) \ left (\ begin {array} {ccc} c_ {i1} ^ {(0)} + \ varepsilon c_ {i1} ^ {(1)} \\ c_ {i2} ^ {(0)} + \ varepsilon c_ {i2} ^ {(1)} \ end {array} \ right), \ end {Gleichung} oder nach Vereinfachung \ begin {Gleichung} \ varepsilon \ left (\ begin {array} {ccc} c_ {i2} ^ {(0)} \\ c_ {i1} ^ {(0)} \ end {array} \ right ) = \ varepsilon E_i ^ {(1)} \ left (\ begin {array} {ccc} c_ {i1} ^ {(0)} \\ c_ {i2} ^ {(0)} \ end {array} \ rechts), \ end {Gleichung}, deren Lösung \ begin {Gleichung} E ^ {(1)} = \ pm 1, ~~ \ text {for} ~~ \ left (\ begin {array} {ccc} 1 \ \ \ pm 1 \ end {array} \ right), \ end {Gleichung} , genau das hatten wir vorher.
Was Sie interessiert, heißt weltliche Gleichung .
Die klassische Quelle ist der zweite Band von Landau & Lifshitz https://books.google.ru/books?id=neBbAwAAQBAJ&pg=PA110&hl=ru&source=gbs_selected_pages&cad=2#v=onepage&q&f=false
Lassen $\psi_{n}^{(0)}, \psi_{n^{'}}^{(0)}$ seien die Eigenfunktionen, die zum gleichen Eigenwert gehören $E_n^{(0)}$. Durch$\psi_{n}^{(0)}, \psi_{n^{'}}^{(0)}$Wir nehmen ungestörte Funktionen an, die auf beliebige Weise ausgewählt werden. Die korrekte Eigenfunktion in nullter Ordnung sind lineare Formkombinationen:$$ c_{n}^{(0)} \psi_{n}^{(0)} + c_{n^{'}}^{(0)} \psi_{n^{'}}^{(0)} + \ldots $$
Die Substitution in der ersten Ordnung der Störung für die Energie $E_n^{(0)} + E^{(1)}$ in die zweite Gleichung in Ihrem Beitrag gibt: $$ E^{(1)} c_{n}^{(0)} = \sum_{n^{'}} H_{n n^{'}} c_{n^{'}}^{(0)} $$ Oder schreiben Sie es folgendermaßen um: $$ \sum_{n^{'}} (H_{n n^{'}} - E^{(1)} \delta_{n n^{'}})c_{n^{'}}^{(0)} = 0 $$Diese Gleichung hat als System mit der rechten Seite Null nur dann Lösungen, wenn die das System definierende Matrix entartet ist. Für die quadratische Matrix entspricht dies dem Verschwinden der Determinante:$$ \boxed{\det(H_{n n^{'}} - E^{(1)} \delta_{n n^{'}}) = 0} $$
Diese Gleichung ist die oben erwähnte weltliche Gleichung. Und der Eigenwert$E^{(1)}$ der Störung bestimmt die Energiekorrektur und die Lösungen der Gleichung die Koeffizienten $c_{n^{'}}^{(0)}$.
Es ist möglich, eine Erweiterung für den entarteten Fall einzurichten, jedoch nur, wenn Sie die „richtige“ Basis verwenden. Die "richtige" Basis ist diese Basis, die die Störung im entarteten interessierenden Unterraum diagonalisiert. Dann gibt es konstruktionsbedingt keine nicht diagonalen Terme in diesem Unterraum, dh in dieser neuen Basis mit Basisvektoren$\vert\alpha_i\rangle$ so dass $\hat V\vert\alpha_i\rangle=\lambda_i\vert\alpha_i\rangle$, du hast $\langle \alpha _k\vert \hat V\vert \alpha_j\rangle=\delta_{kj}$ Sie teilen sich also nie durch $0$ da die Erweiterung keine Begriffe enthält wo $k=j$.
Wenn Sie diese neue Basis verwenden, können Sie so vorgehen, als ob das Problem nicht entartet wäre. Die Prozedur kann immer noch fehlschlagen, wenn die Störung$\hat V$hat Eigenwerte im entarteten interessierenden Unterraum wiederholt; In diesem Fall ist nichts zu tun, dh für diese verbleibenden entarteten Zustände besteht keine offensichtliche störende Expansion.