Wie hängen wir ein $2$-Zelle?

Aug 16 2020

Dies ist ein Problem aus Hatchers ALgebraischer Topologie

"Berechnen Sie die Homologie des Raumes aus $D^2$ indem zuerst die Innenräume von zwei disjunkten Subdisks im Inneren von gelöscht werden $D^2$ und dann alle drei resultierenden Grenzkreise zusammen über Homöomorphismen zu identifizieren, wobei die Ausrichtung dieser Kreise im Uhrzeigersinn erhalten bleibt. "

Ich habe hier eine Lösung gefunden https://web.stanford.edu/class/math215b/Sol4.pdf. Auf dem Foto können Sie sehen, dass die Lösung eine CW-Struktur verwendet$2$-Zelle $U$ hängt an dem Wort $aba^{-1}b^{-1}ca^{-1}c^{-1}$. Meine Frage ist: Warum ist das so?

Es erscheint mir rationaler, etwas anzuhängen $U$ zu $abab^{-1}cac^{-1}$da wir wollen, dass alle 3 Kreise im Uhrzeigersinn sind. Ich kann das Verfahren vage verstehen: Wir beginnen bei$x$, dann gehen wir herum $a$Jetzt gehen wir durch $b$ um den inneren Kreis vom äußeren zu erreichen, und dann gehen wir herum $a$ wieder machen wir das gleiche für $c$. Aber warum gehen wir gegen den Uhrzeigersinn, wenn wir hinein greifen?

Antworten

1 AnginaSeng Aug 16 2020 at 05:42

Denken Sie an sich selbst drinnen sitzen $U$und denken Sie daran, wie sich die Grenze umschlingt. Sie beginnen oben$x$ Machen Sie dann eine Fahrt im Uhrzeigersinn um den äußeren Kreis ($a$), dann ein Spaziergang entlang des Abschnitts $b$ (Jetzt hast du getan $ab$) dann einen Spaziergang gegen den Uhrzeigersinn entlang des linken inneren Kreises ($aba^{-1}$), dann wieder mit $b$ (($aba^{-1}b^{-1}$) usw.

Der Punkt ist, wenn Sie drinnen sind $U$Die Spaziergänge entlang der inneren Kreise erfolgen gegen den Uhrzeigersinn. entgegengesetzt zum Lauf um den äußeren Kreis. Denken Sie daran, dass das Innere von$U$ ist immer auf der gleichen Seite wie man entlang seiner Grenze geht.