Wie kann man beweisen, dass diese Matrix diagonalisierbar ist?
Ich versuche Zuordnungsfragen der linearen Algebra und konnte diese spezielle Frage bezüglich der Diagonalisierbarkeit nicht lösen.
Lassen $n \times n$ komplexe Matrix $A$ befriedigt $A^k = I$ das $n \times n $ Identitätsmatrix, wo $k$ ist eine positive ganze Zahl $>1$ und lass $1$ kein Eigenwert von sein $A$. Wie kann man dann beweisen, dass A notwendigerweise diagonalisierbar ist?
Wie $A^k=I$ und 1 ist also kein Eigenwert $(A-I ) (A^{k-1}+...+ I)=0$ impliziert, dass $(A^{k-1}+...+ I)=0$ aber ich kann mich nicht vorwärts bewegen.
Können Sie bitte helfen?
Antworten
Sie hätten weniger annehmen können. Die Bedingung "1 ist kein Eigenwert von$A$"ist unnötig.
Denken Sie daran, dass eine komplexe Matrix $A$ist genau dann diagonisierbar, wenn sein minimales Polynom keine Mehrfachwurzeln hat. Wenn$A^k = I$, dann das minimale Polynom von $A$, die wir mit bezeichnen $f(x)$, notwendigerweise teilt $x^k - 1$. Wir schließen daraus$f(x)$ kann seitdem nicht mehrere Wurzeln haben $x^k - 1$ hat $k$ deutliche Wurzeln in $\mathbb{C}$. Daher$A$ ist diagonisierbar.
Alternativ können wir Jordan Canonical Form verwenden, um die Diagonisierbarkeit zu sehen. Nehmen wir das Gegenteil an$A$ ist nicht diagonalisierbar, dann muss es einen nicht trivialen Jordan-Block geben $B$ der jordanischen kanonischen Form in folgender Form: $$\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots& \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}$$ was befriedigt $B^k = I$. Dies ist unmöglich, indem beispielsweise die berechnet wird$(1,2)$-Eintrag von $B^k$, schon seit $\lambda \neq 0$.
Lassen $A=SJS^{-1}$ sei dann die jordanische Normalform $A^{k}=(SJS^{-1})^k=(SJ^{k}S^{-1})=I$. Dann multiplizieren mit$S^{-1}$ links und $S$ auf der rechten Seite ergibt $J^k=I$. Wenn$J$ hatte einen Jordan Block $J_i$ von Größe $n>1$ entsprechend dem Eigenwert $\lambda_{i}$, dann $J_i^k$ hätte super diagonale Einträge $(2\lambda_{i})^{(k-1)}\neq 0$.
Es gibt einen Satz, der besagt, dass, wenn eine quadratische Matrix A diagonalisierbar ist, jede positive Potenz von A, dh A ^ k, k zu Z + gehört. A ^ k ist auch diagonisierbar
ABER DER CONVERSE-Teil ist wahr Nur wenn A invertierbar ist, dh. Wenn uns gegeben wird, dass A ^ k diagonisierbar und A invertierbar ist, dann ist A diagonisierbar. Sie können den Beweis hier sehen, wenn$A$ ist invertierbar und $A^n$ ist also diagonalisierbar $A$ ist diagonalisierbar.
Hier wird uns gegeben, dass A ^ k = I Also A ist invertierbar und Identifizieren ist immer diagonisierbar, also ist A diagonisierbar.
Hoffe, das wäre hilfreich für Sie