Wie komme ich zum richtigen Ergebnis für dieses Integral?

Aug 15 2020

Wolfram | Alpha ist meines Wissens die einzige Website, die die richtige Lösung für dieses Integral bietet.$$ f(x) = \frac{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2 \cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+2}+2}+2}}{\sqrt{x}} $$ $$ F(x) = \int f(x)\, dx$$ weil wir die als Ergebnis angegebene Funktion ableiten, gelangen wir zur ursprünglichen Funktion.

Das ist die Lösung: $$ F(x) = \frac{1}{5} (-8) \sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1} \sqrt{\sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1}+2} \left(\sqrt{\sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1}+2}-2\right) \sqrt{\sqrt{\sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1}+2}+2} \csc \left(5 \sqrt{x}+4\right) + C $$

In diesem Video wird jedoch ein falsches Ergebnis angegeben, obwohl der Integrationsprozess korrekt erscheint. Wie oben wissen Sie, dass das Ergebnis falsch ist, da das Ableiten der resultierenden Funktion nicht zu der ursprünglichen Funktion führt, die wir integrieren wollten.

Ich muss zum richtigen Ergebnis kommen, aber ich weiß nicht wie.

Antworten

5 AniruddhaDeb Aug 15 2020 at 22:33

Wie Ninad hervorhob, handelt es sich um eine Teillösung, die dem im Video verwendeten Prozess entspricht und nur dann gültig ist, wenn $$\cos\frac t2$$ ist positiv .

Beginnen Sie mit dieser Identität:

$$\sqrt{2+2\cos t} = \sqrt{4\cos^2\frac t2} = 2\cos\frac t2$$ Um dies auf den Integranden anzuwenden, nehmen Sie zuerst die Substitution vor $t = \sqrt x$Wenden Sie diese Eigenschaft dann nacheinander an. $$\begin{gather} I = \int\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + 2\cos(5t+4)}}}\cdot 2dt\\ = \int\sqrt{2 + \sqrt{2+2\cos\left(\frac{5t+4}{2}\right)}} \cdot 2 dt\\ = \int\sqrt{2 + 2\cos\left( \frac{5t+4}{4}\right)} \cdot 2dt \\ = \int 4\cos\left(\frac{5t+4}{8}\right) dt \\ = \frac{32}{5}\sin\left( \frac{5\sqrt x + 4}{8} \right) + C \end{gather}$$