Wie können Sie sicher sein, dass ein Integral nicht existiert, wenn es kein unbestimmtes Integral hat?

Question

Angenommen, Sie haben das Integral $\displaystyle\int_1^\infty{\frac{1}{x^{1+\frac{1}{x}}}}\;\mathrm{d}x$

Dieses Integral kann nicht vervollständigt werden. Nicht dass es bis ins Unendliche geht, aber es kann physisch einfach nicht abgeschlossen werden. Wie können Sie das realisieren, wenn Sie darauf stoßen? Wie kannst du es beweisen?

Answer 1

@KaviRamaMurthy und @ player2326 haben diese Frage beantwortet. Der Vergleichstest kann verwendet werden, um diese Frage zu lösen.

Zusätzliche Referenzen:

Wie kann man sehen, dass dieses falsche Integral divergiert?

Überprüfen, ob das Integral $\int_1^∞ \frac{1}{x^{\frac{1}{x}+1}} dx$ konvergent

Answer 2

$$I=\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^p}=\left .\frac{x^{1-p}}{1-p}\right|_{1}^{\infty}=\frac{1}{p-1}, ~if~ p>1,$$ weil $0^{1-p}=0$ wenn nur $p>1$sonst ist es unendlich. Daher konvergiert das Integral, wenn$p>1$.