Wie leite ich die „bekannte“ Lösung für den uneingeschränkten Array-Gewinn ab?

Dec 30 2020

Kann mich jemand auf eine Webseite oder eine andere Ressource verweisen, die zeigt, wie der Ausdruck "Unconstrained Array Gain" des Strahlformers in Henry Cox '1987er IEEE-Arbeit "Robust Adaptive Beamforming" analytisch gelöst werden kann?

$$ \max_{\mathbf{w}} \frac{|\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2}{\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}} $$

Cox sagt:

Die bekannte Lösung ist $\mathbf{w} = \alpha\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}$

Ich möchte dies nur besser verstehen, indem ich lerne, wie ich das selbst ableiten kann.

Antworten

2 MattL. Dec 30 2020 at 02:42

Sie können ein solches Problem mit der Methode der Lagrange-Multiplikatoren lösen . Beachten Sie zunächst, dass das Maximieren des Ausdrucks in Ihrer Frage dem Minimieren der Umkehrfunktion entspricht:

$$\min_{\mathbf{w}}\frac{\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}}{|\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2}\tag{1}$$

Als nächstes beachten Sie, dass die Lösung von $(1)$ ist unveränderlich zur Skalierung von $\mathbf{w}$dh ersetzen $\mathbf{w}$ durch $c\cdot\mathbf{w}$ im $(1)$ mit einer beliebigen Skalarkonstante $c$ändert den Wert der Funktion nicht. Wir können also genauso gut eine solche Skalierung verwenden$\mathbf{w}^H\mathbf{d}=1$ist befriedigt. Diese Skalierung entspricht einer Einheitsantwort für das gewünschte Signal. Mit dieser Einschränkung Problem$(1)$ kann umformuliert werden als

$$\min_{\mathbf{w}}\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}\qquad\textrm{s.t.}\qquad \mathbf{w}^H\mathbf{d}=1\tag{2}$$

Wir können lösen $(2)$ unter Verwendung der Methode der Lagrange-Multiplikatoren durch Minimieren

$$\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}-\lambda(\mathbf{w}^H\mathbf{d}-1)\tag{3}$$

Formal die Ableitung von nehmen $(3)$ in Gedenken an $\mathbf{w}^H$ und es auf Null zu setzen gibt

$$\mathbf{w}=\lambda\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}\tag{4}$$

Die Einschränkung in $(2)$ ist zufrieden für

$$\lambda=\frac{1}{\mathbf{d}^H\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}\tag{5}$$

Von $(4)$ und $(5)$ wir erhalten endlich

$$\mathbf{w}=\frac{\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}{\mathbf{d}^H\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}\tag{6}$$

Beachten Sie, dass die Skalierung in $(6)$ ist optional und die allgemeine Lösung ist gegeben durch $(4)$.

V.V.T Jan 02 2021 at 10:36

Zunächst eine Skizze der Lösung für das Problem des maximalen SINR-Strahlformers $$ \text{max}_{\mathbf{w}} \frac{|\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2}{\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}} $$ Beginnen Sie mit dem Aufschreiben einer Funktion $$ \mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w} $$minimiert werden, und eine Reihe von Einschränkungen . In der Tat werden die Gewichtsvektoren w und w H als die zwei unabhängigen Mengen von Variablen betrachtet, wenn Ableitungen in Bezug auf diese Variablen genommen werden; Daher muss die Ausgangssignalenergie, die typischerweise als Quadratmodul des Nebenprodukts der Gewichtungssignale geschrieben wird, als analytische Funktion niedergeschrieben werden, ohne die Norm zu berechnen, die die Quadratwurzel zieht:$$ |\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2 = \mathbf{w}^H\mathbf{d}·\mathbf{d}^H\mathbf{w} $$ Der resultierende Satz linearer Einschränkungen ist $$ \mathbf{w}^H\mathbf{d} = c \\ \mathbf{d}^H\mathbf{w} = c^* $$ und wir müssen einen Lagrange mit zwei Lagrange-Multiplikatoren λ und μ aufschreiben: $$ \mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}-λ(\mathbf{w}^H\mathbf{d}-c)-μ(\mathbf{d}^H\mathbf{w}-c^*) $$Nehmen wir die beiden Ableitungen des Lagrange - die erste in Bezug auf w und die zweite in Bezug auf w H -, so erhalten wir die Ausdrücke für λ und μ und kommen schließlich durch Ersetzen der Constraint-Ausdrücke zu den Formel für Gewichte:$$ \mathbf{w}=c\frac{\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}{\mathbf{d}^H\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}} $$Zu meiner Überraschung konnte ich beim Durchsuchen eines Webs nach "einer Webseite oder einer anderen Ressource, die zeigt, wie der Beamformer analytisch gelöst werden kann" gemäß der Anforderung des OP nur verkürzte, fehlerhafte Versionen der Ableitung dieser Formel finden. Ein typisches Dokument sind die Kursnotizen Optimal Beamforming , eine detaillierte und nützliche Einführung in das Thema in allen anderen Aspekten. Ich vermute sogar, dass das OP die Frage mit dem Ziel veröffentlicht hat, diese Auslassung der Lernressource zu verbreiten (entschuldigen Sie meinen unangenehmen Scherzversuch).

Im Moment kann ich das Lernmaterial zur allgemeinen quadratischen Programmierung mit linearen Einschränkungen nur Studenten empfehlen, die an der optimalen Strahlformung interessiert sind. Zum Beispiel refs.https://www.math.uh.edu/~rohop/fall_06/Chapter3.pdf und https://www.cis.upenn.edu/~cis515/cis515-20-sl15.pdf. In diesen Dokumenten werden nur reelle quadratische Formen berücksichtigt, aber die Hauptergebnisse können auf den komplexen Bereich verallgemeinert werden.