Wie „liest“ man diese Funktion?
Ich versuche einen Beweis zu verstehen, in dem Sie eine injektive Funktion erstellen müssen$g:ℕ^ℕ\rightarrowℝ$($ℕ^ℕ$ist die Menge aller Funktionen aus$ℕ$zu$ℕ$), und mein Buch definiert es so:
Ich verstehe (offensichtlich) den Teil, der sagt$0.101001000..$aber ich verstehe die Formel für nicht$a_n$. Wo es heißt "für einige$k≥1$„bedeutet das, dass ich definieren muss$k$ bevor ich diese Formel anwende, oder ich muss die sich ändernden Werte berechnen$k$im Laufe der Zeit?
Ich habe versucht, die gleiche Nummer zu bekommen, die sie für die Identitätsfunktion bekommen haben (die$0.10100..$), aber ich kann nicht sehen, wie sie es mit der Formel bekommen haben:
Verwenden der Identitätsfunktion$i(n)=n$, mit$k=2$Die Bedingung „wenn$n=k+\sum_{i=0}^{k-1}f(i)$würde werden$2+f(i(0))+f(i(1))$aber woher weiß ich welche werte$f(0)$,$f(1)$etc haben?
Könntet ihr bitte die Zahl berechnen, die sie mit der Identitätsfunktion mit dieser Formel erhalten haben?
Vielen Dank!
Antworten
Sie haben sehr wahrscheinlich durcheinander gebracht und verwendet$i$für zwei völlig verschiedene Dinge. eg bedeutet zum Beispiel so$i()$ist ein einfaches Beispiel für$f()$aber sie benutzten$i$als Index und als Funktionsname. Böse Menschen. Ersetzen$i$wenn es zum Beispiel für Funktionsname, Identität, Zeile 4, 8 und 11 verwendet wird$d$und nochmal lesen.
Der Ausdruck für$a_n$ist unnötig kompliziert und trägt zur Verwirrung bei. Es heißt nur, dass es sie gibt$f(0)+f(1)+...+f(m)$Nullen plus$m$ $1$ist vor jedem$1$im Ausbau. Es ist eine logische Umkehrung, die eine sehr einfache Sache ach so mathematisch klingen lässt, was eine Praxis ist, die Sie an weit ernsteren Orten finden können. Sorry für die Folter.'
$f(0)$,$f(1)$sind die Werte einer gewählten Funktion. Dieser Absatz erklärt also, wie man eine Funktion auf eine reelle Zahl abbildet. Dies bedeutet, dass für jede Funktion diese Zuordnung erstellt wird.
Der Satz „Woher weiß ich, welche Werte$f(0)$,$f(1)$, etc., haben?" zeigt, dass hier einige Missverständnisse kursieren: Die$f$wird dir gegeben . Es ist ein "Punkt" mit unendlich vielen Koordinaten$\bigl(f(0)$,$f(1)$,$f(2)$,$\ldots\bigr) $. Diesen Punkt müssen Sie nun in einen binären String kodieren, aus dem alle Koordinaten stammen$f(i)$später zurückholen können. Es scheint, dass Sie die Idee der Konstruktion verstanden haben, wie sie im Beispiel demonstriert wurde.
Das Problem besteht nun darin, eine "mathematische" Beschreibung der Konstruktionsidee zu finden. Die gegebene Beschreibung überträgt die Idee mehr oder weniger, aber es wird davon ausgegangen, dass der Leser bereits weiß, worum es geht. Ich würde es folgendermaßen machen: Gegeben$f: \>{\mathbb N}_{\geq0}\to{\mathbb N}_{\geq0}$, Zahlen definieren$n_k$ $(k\geq1)$folgendermaßen:$$n_k:=k+\sum_{i=0}^{k-1}f(i)\qquad(k\geq1)$$und legen$$a_{n_k}:=1\quad(k\geq1),\qquad a_n=0\quad({\rm otherwise})\ .$$