Wie verwende ich die Wikipedia-Tabelle der Clebsch-Gordan-Koeffizienten?
Wikipedia hat einen schönen Artikel über die Clebsch-Gordan-Koeffizienten .
Zu meinem Verständnis zeigt uns diese Tabelle beispielsweise, wie zwei Teilchen mit jeweils einem maximalen Gesamtdrehimpuls kombiniert werden $1$ in eine Wellenfunktion mit maximalem Drehimpuls $2$::

Nehmen Sie die erste Spalte aus der letzten Tabelle. Es sagt uns, ich glaube:
$|2,0\rangle = \sqrt{\frac{1}{6}} |1,1\rangle |1,-1\rangle +\sqrt{\frac{2}{3}}|1,0\rangle|1,0\rangle+\sqrt{\frac{1}{6}} |1,-1\rangle|1,1\rangle$
Wie ich das interpretiere:
Der Gesamtdrehimpuls eines Teilchens, der sich aus einer solchen Kombination von Wellenfunktionen zweier anderer Teilchen ergibt, hat die Gesamtdrehquantenzahl 2 (also den Gesamtdrehimpuls) $\sqrt{j(j+1)\hbar^2}=\sqrt{2(2+1)\hbar^2}$), aber $0$ um die $z$ Achse (as $m_j$, was ich als Drehimpuls verstehe $z$ Achse ist $0$).
Der Drehimpuls des Teilchens ist also nicht zueinander ausgerichtet, sondern so ausgerichtet, dass der gesamte Drehimpuls in z-Richtung 0 beträgt.
Ist diese Interpretation der Vorgänge korrekt? Ich mache mir Sorgen, dass es keine Tabellen für gibt$m=-1,-2$. Wenn meine Interpretation der Situation korrekt ist, sehe ich keinen Grund, warum ich mit diesen kein kombiniertes Teilchen erzeugen konnte$m$ Werte, wenn ich es kann $m=0,1,2$.
Antworten
Der Wikipedia-Artikel sagt Folgendes:
Der Kürze halber Lösungen mit $M < 0$ und $j_1 < j_2$werden weggelassen. Sie können unter Verwendung der einfachen Beziehungen berechnet werden$$ \langle j_{1},j_{2};m_{1},m_{2}\mid j_{1},j_{2};J,M\rangle =(-1)^{J-j_{1}-j_{2}}\langle j_{1},j_{2};-m_{1},-m_{2}\mid j_{1},j_{2};J,-M\rangle .$$ und $$ \langle j_{1},j_{2};m_{1},m_{2}\mid j_{1},j_{2};J,M\rangle =(-1)^{J-j_{1}-j_{2}}\langle j_{2},j_{1};m_{2},m_{1}\mid j_{2},j_{1};J,M\rangle.$$
Mit anderen Worten, die Clebsch-Gordon-Koeffizienten für einen negativen Wert von $m$ sind die gleichen (bis zu einem Vorzeichen) wie die für den entsprechenden positiven Wert von $m$, solange Sie die Zeichen von wechseln $m_1$ und $m_2$ auch.