Zeige, dass $f’(0)$ existiert und ist gleich 1.

Question

Lassen $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$sei beständig. Annehmen, dass$f’(x)$ existiert für alle $x \neq 0$ und $ \lim_{x\to\ 0} f'(x) = 1$. Zeige, dass$f’(0)$ existiert und $f’(0) = 1$

Mein Versuch: $$1 = \lim_{x\to0} \lim_{h\to0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h\to0}\frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = f’(0)$$

Ich denke nicht, dass der Limit-Austausch, den ich gemacht habe, korrekt ist. Kann mir jemand dabei helfen?

Answer 1

Ich denke, der Beitrag, den Martin R verlinkt hat, sagt etwas Ähnliches, aber dies ist eine Standardanwendung des MVT: Fix $h>0$ und überlegen $\frac{f(h) - f(0)}{h}$, dann können Sie durch den Mittelwertsatz einen Punkt finden $a \in (0,h)$ so dass $\frac{f(h) - f(0)}{h} = f'(a)$. Jetzt nimm$h \to 0$. Was passiert mit$a$? Denk daran, dass$a$ kommt drauf an $h$.

Das Vertauschen von Grenzen ist auch keine gute Idee, es sei denn, Sie appellieren an einen bestimmten Satz / ein bestimmtes Ergebnis, mit dem Sie dies tun können. Im Allgemeinen können auch "einfache" Grenzwerte nicht geändert werden.