Zeige diesen Rang ( $A^{n+1}$) = Rang ( $A^n$) [Duplikat]

Nov 29 2020

Annehmen $A$ ist ein $n \times n$ Matrix dh $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$, beweise diesen Rang ($A^{n+1}$) = Rang ($A^n$). Mit anderen Worten, ich muss beweisen, dass ihre Bereichsräume oder Nullräume gleich sind. Wenn es hilft,$A$ ist eine singuläre Matrix.

Beachten Sie, dass ich keine Jordan-Blöcke verwenden möchte, um dies zu beweisen. Ist es möglich, dies ohne Verwendung des Jordan-Formulars zu beweisen? Ich kann Schurs Triangularisierungssatz verwenden. Es ist auch nicht bekannt, ob A diagonalisierbar ist.

Antworten

3 Lapin Nov 28 2020 at 23:23

$\newcommand{\rg}{\operatorname{range}}$ Natürlich für jeden $m$, $\rg A^{m+1}\subset\rg A^{m}$, also wenn $d_m=\dim\rg A^m$, $d_{m+1}\le d_m$. Wenn$d_{m+1}=d_m$ für einige $m$, dann $\rg A^{m+1}=\rg A^{m}$ und deshalb $\rg A^m=\rg A^{m+1}=\rg A^{m+2}=\dotsb{}$. Das heißt, die Reihenfolge$d_0,d_1,\dots$wird konstant, sobald es aufhört abzusteigen.
weil$d_0= n$muss die Sequenz innerhalb nicht mehr absteigen $n$ Begriffe.

Bearbeiten: Für das Problem, das Sie im Kommentar formuliert haben, $\rg A^{m+1}=\{AA^{m}y:y\in \mathbb C^n\}=\{Ax:x=A^my\in\rg A^m\}=\{Ax:x\in\rg A^m\}$,
Deshalb$\rg A^{m}=\rg A^{m+1}\implies$
$\rg A^{m+1}=\{Ax:x\in\rg A^m\}=\{Ax:x\in\rg A^{m+1}\}=\rg A^{m+2}$.

2 mathcounterexamples.net Nov 28 2020 at 23:24

Hinweis

Sie können das für beweisen $k \ge 0$ $$\mathrm{rank}(A^{k+2}) - \mathrm{rank}(A^{k+1}) \le \mathrm{rank}(A^{k+1}) - \mathrm{rank}(A^{k})$$

Deshalb, $$\mathrm{rank}(A^{n+1}) < \mathrm{rank}(A^{n})$$ würde den Widerspruch implizieren $\mathrm{rank}(A) \gt n$.

user2432923 Nov 29 2020 at 00:14

Alles hängt davon ab $n$. Dies ist also ein guter Fall für eine vollständige Induktion über n.

n = 1: A = reell oder komplex und ungleich Null. $Rank(A)=1=Rank(A^{n=1})=n=1=rank(a^2)=rank(A^2)=rank(A^{n+1})$

Zum $n$ natürlich ist die hypthese $true$.

Zum $n+1$ Eine Änderung genau in einer Zeile oder Spalte des Falls $n$. Diese Zeile oder Spalte kann entweder aber nicht linear sein, abhängig von der anderen, aus der das A besteht$n$. Dies impliziert implizit, dass mindestens ein Element in der Spalte oder Zeile genau in der zu A hinzugefügten Dimension ungleich Null ist$n$.

Wir können jetzt einige der äquivalenten Definitionen für die verwenden $rank$einer quadratischen Matrix. Mit Einschränkung der Allgemeinheit enthält die hinzugefügte Zeile oder Spalte nur ein Element ungleich Null. Dies wirkt beispielsweise als Faktor in der bestimmten Entwicklung oder ist ein neuer Eigenwert oder die Matrix A für$n+1$. Die Determinante ist also zumindest in dieser Entwicklung ungleich Null, weil wir einen Wert ungleich Null und das Wissen haben, für das die Determinante unseres A gilt$n$ ist ungleich Null und $rank(A)=n$.

Die Grundidee für den Induktionsschritt ist Ring von matrice Rang oder Rank conserse durch Multiplikation einer nichtsinguläre Matrix im allgemeinen eines$A$selbst speziell. Matrizen mit ungleich Null$rank$Behalten Sie den Rang unter Multiplikation. Die betrachtete Multiplikation ist kommutativ, weil wir nur A multiplizieren. Dies ist ein weiterer Indikator für unsere Hypothesen für$n+1$. Eigenwerte und Schur-Zerlegung sind eng miteinander verbunden. Eine der Matrizen in der Schur-Zerlegung ist eine obere Dreiecksmatrize. Erhöhen Sie also die Dimension von$n$ zu $n+1$ Fügt einfach einen weiteren letzten hinzu, wenn die letzte Zeile und Spalte in einem Vereinigungsvektor nur einen Wert in der neuen Dimension enthält.

Die Schur-Zerlegung entspricht der Matrix $𝐴∈ℂ^{𝑛+1×𝑛+1}$ hat die Eigenschaft auf die Matrix angewiesen $𝐴∈ℂ^{𝑛×𝑛}$. Die Matrize von$rank$ aus einer Gruppe und kann unter Erhaltung der ineinander verwandelt werden $rank$. Und der Beweis ist erbracht.