Zeigen Sie, dass eine Folge von Funktionen, die gleichmäßig konvergieren, Riemann-integrierbar sind. Was ist, wenn sie nur punktuell konvergieren?
Lassen $f_n$ eine Folge von Riemann-integrierbaren Funktionen sein $[a,b]$die gleichmäßig zu einer Funktion f konvergieren. Zeigen Sie, dass f auch Riemann-integrierbar ist. Was passiert wenn$f_n$ konvergiert nur punktweise?
Zeigen Sie dies in Anbetracht dieses Szenarios
$$\lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx$$
Ich bin mir nicht sicher, wie ich dieses Problem starten soll. Wenn sie bereits einheitlich zu einer Funktion konvergieren, muss diese Funktion stetig sein, oder? Dann ist es also trivial Riemanns integrierbar. Über den Punkt bin ich mir nicht sicher. Und dann der zweite Teil mit den Grenzen Ich bin mir nicht sicher, wie ich vorgehen soll. Jede Hilfe wird geschätzt!
Antworten
Wir können das Riemann-Kriterium verwenden, um die einheitliche Grenze zu beweisen $f$ einer Folge von Riemann-integrierbaren Funktionen $(f_n)_n$ ist auch Riemann integrierbar.
Durch einheitliche Konvergenz für alle $\epsilon > 0$gibt es $N \in \mathbb{N}$ so dass für alle $n \geqslant N$ wir haben
$$-\frac{\epsilon}{3(b-a)} < f(x) - f_n(x) < \frac{\epsilon}{3(b-a)}$$
Lassen $P: a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b$eine Partition sein. Schon seit$f(x) = f(x) - f_n(x) + f_n(x),$ Daraus folgt, dass auf jeder Partition Subintervall $I$,
$$\sup_I f(x) \leqslant \sup_I(f(x) - f_n(x)) + \sup_I f_n(x) < \frac{\epsilon}{3(b-a)}+ \sup_I f_n(x), \\ \inf_I f(x) \geqslant \inf_I(f(x) - f_n(x)) + \inf_I f_n(x) > -\frac{\epsilon}{3(b-a)}+ \inf_I f_n(x).$$
So, $ \inf_I f_n(x)- \frac{\epsilon}{3(b-a)} <\inf_I f(x) \leqslant \sup_I f(x) < \sup_I f_n(x)+ \frac{\epsilon}{3(b-a)}. $
Summiert man alle Partitionsunterintervalle, so ergibt sich für die oberen und unteren Darboux-Summen.
$$U(f,P) < \frac{\epsilon}{3} + U(f_n,P), \quad -L(f,P) < \frac{\epsilon}{3} - L(f_n,P),$$
und daher,
$$U(f,P) - L(f,P) < \frac{2\epsilon}{3} + U(f_n,P) - L(f_n,P).$$
Schon seit $f_n$ Ist Riemann integrierbar, gibt es eine Partition $P$ so dass $U(f_n,P) - L(f_n,P) < \epsilon/3$ und daraus folgt $U(f,P) - L(f,P) < \epsilon$ das zu beweisen $f$ ist Riemann integrierbar.
Jetzt sollten Sie in der Lage sein, selbst zu beweisen, dass die Grenze der Folge von Integralen das Integral der Grenzwertfunktion ist, indem Sie dies berücksichtigen $|f_n(x) - f(x)| \to 0$ einheitlich für alle $x \in [a,b]$.
Lassen $\{q_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ seien Sie die rationalen Zahlen im Intervall $[0,1]$, und lassen Sie uns die Funktionen betrachten $$f_n(x)= \begin{cases} 1 &\text{if}\quad x \in \{q_1, \ldots, q_n\},\\ 0 &\text{otherwise.} \end{cases} $$
Das $f_n(x)$ sind Riemann-integrierbar, konvergieren aber zur Dirichlet-Funktion, die nicht Riemann-integrierbar ist.