Zeigen Sie, dass eine Gruppe von Bestellungen $pq$ hat Untergruppe der Ordnung $p$ und $q$ ohne den Satz von Sylow und Cauchy zu verwenden

Question

Wenn $o(G)$ ist $pq$, $p>q$ sind Primzahlen, beweisen Sie das $G$ hat eine Untergruppe der Ordnung $p$ und eine Untergruppe der Ordnung $q$.

[Diese Frage stammt von Herstein und steht vor dem Satz von Sylow und Cauchy. Ich erwarte also eine Antwort, ohne eine dieser zu verwenden.]

Folgendes habe ich bisher erreicht:

Wenn $G$ ist zyklisch, dann sind wir anders, wir können davon ausgehen, dass es nicht zyklisch ist, was bedeutet, dass jedes Nichtidentitätselement in Ordnung sein muss $p$ oder $q$.

Fall $(1)$ wenn es existiert $a\in G$ so dass $o(a) = p$ und wenn es auch ein Ordnungselement gibt $q$dann sind wir fertig. Wir können also davon ausgehen, dass jedes Nichtidentitätselement in Ordnung ist$p$. Jetzt wählen$b\in G$ so dass $b\notin \langle a \rangle$ dann $o(b) = p$ und $\langle a \rangle\cap\langle b \rangle =(e)$

Also haben wir $\langle a\rangle \langle b\rangle\subset G$ aber $o(\langle a \rangle \langle b \rangle) = \dfrac {o(\langle a \rangle)o(\langle b \rangle)}{o(\langle a\rangle \cap \langle b\rangle)} = p^2$ aber $p^2 > pq$ [schon seit $p>q$] also haben wir einen Widerspruch.

Geben Sie mir einen Hinweis für den zweiten Fall und korrigieren Sie mich, wenn mein Argument für den ersten Fall falsch ist

Answer 1

Angenommen, jedes Nichtidentitätselement erzeugt eine zyklische Ordnungsgruppe $q$, die kleinere der Primzahlen.

Konjugation ist eine Äquivalenzbeziehung zu einer Gruppe. Wir sollten also in der Lage sein, die Gruppe in ihre Äquivalenzklassen zu unterteilen. Die Größe der Äquivalenzklasse, zu der ein Element gehört, ist der Index des Zentralisierers des Elements. Warum? Fix$x\in G$. Machen Sie einen Homomorphismus aus$G \rightarrow G$ durch Senden $g \rightarrow xgx^{-1}$. Die Größe der Äquivalenzklasse ist die Reihenfolge des Bildes. Was ist der Kern dieser Karte?

Wenn der Zentralisierer in Ordnung ist $p$ oder $pq$, wir sind fertig. Angenommen, jeder Zentralisierer ist in Ordnung$q$ist der Index des Zentralisierers $pq/q=p$. Jedes Element würde zu einer Äquivalenzklasse der Größe gehören$p$, mit Ausnahme des Identitätselements.

Eine einfache Kardinalitätsberechnung zeigt dies $pq= kp+1$, wobei die Anzahl der Äquivalenzklassen darstellt. Dies ist jedoch absurd und daher nicht jede Untergruppe der Ordnung$q$.