Zeitableitung des Mappings $t \mapsto P_tf(x)=\mathbb{E}^x(f(X_t))$ - Infinitesimalgenerator

Question

Kann jemand bitte Gleichung erklären $1$ in diesem https://math.stackexchange.com/a/697412/767953in einer einfacheren Form? Auch ich kann nicht verstehen, wie aus Gleichung$1$ wir können das sehen $u$ ist die Lösung der Wärmegleichung.

Answer 1

Hinweis

\ begin {align} \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} P_tf (x) & = \ lim_ {h \ bis 0} \ frac {P_ {t + h} f (x) -P_tf (x)} {h} \\ & = \ lim_ {h \ bis 0} P_t \ left (\ frac {P_hf (x) -f (x)} {h} \ right) \\ & = P_t \ left (\ lim_ {h \ bis 0} \ frac {P_hf (x) -f (x)} {h} \ rechts) \\ & = P_tAf (x) \\ & = AP_tf (x). \ end {align} Ich lasse Sie jede Gleichheit als Hausaufgabe rechtfertigen. Für Ihre andere Frage kann man beweisen, dass der infinitesimale Generator der Brownschen Bewegung gegeben ist durch$$Af(x)=\frac{1}{2}\Delta f(x).$$ Machen Sie es als Hausaufgabe, wenn Ihnen dies nicht klar ist.