Prouver la monotonie d'une fonction implicite

Aug 18 2020

J'étudiais la propriété de la fonction Beta et j'ai rencontré l'égalité suivante:

$$ \int_{0}^1 \lambda^{\alpha}(1-\lambda)^{\alpha-1}\frac{1}{1+e^{(2\lambda-1)k}}\text{d}\lambda = \text{B}(\alpha+1,\alpha+1), $$

$\text{B}$ représente la fonction Beta.

Je peux montrer que pour chaque $\alpha>0$, il existe un unique $k \in (0,\infty)$st l'égalité ci-dessus est valable. Ce qui m'intéresse, c'est que lorsque je trace le graphique de$k$ en terme de $\alpha$ dans Wolfram, il s'avère que $k$ est en fait une fonction strictement décroissante $\alpha$.

Je n'ai pas pu prouver l'affirmation ci-dessus, mais j'ai quelques intuitions. L'intégration par parties donne que l'égalité ci-dessus équivaut à:

$$ \int_{0}^1 \lambda^{\alpha}(1-\lambda)^{\alpha}[\frac{2k}{2+e^{(2\lambda-1)k}+e^{(1-2\lambda)k}}-1]\text{d}\lambda = 0. $$

Donc quand $\alpha$ est grand, le terme $\lambda^{\alpha}(1-\lambda)^{\alpha}$ devient dominé à $\lambda=1/2$. Donc,$2k/4$ doit rester proche de $1$ainsi que. Quand$\alpha$ est petite, $k$ doit être nettement plus grand que $2$ pour compenser la partie où $\lambda$ reste loin de $1/2$.

Toutes les astuces / suggestions sont surtout appréciées.

Réponses

1 Avocaddo Sep 03 2020 at 08:04

Laisser $R\left(a,k\right)=\int_{0}^{1}\lambda^{a}\left(1-\lambda\right)^{a-1}\frac{1}{1+e^{\left(2\lambda-1\right)k}}-\text{Beta}\left(a+1,a+1\right)$. Par le théorème de fonction implicite appliqué à$R\left(a,k\right)=0$ nous avons

$\frac{dk}{da}=-\frac{\frac{\partial R}{\partial a}}{\frac{\partial R}{\partial k}}<0$

car $\frac{\partial R}{\partial a}<0$ et $\frac{\partial R}{\partial k}<0$. Faites-moi savoir si cela est clair.