2 pertanyaan tentang cincin itu $\mathbb Q[X]/(X^{3}-1)$
Saya tidak dapat menjawab pertanyaan khusus ini dalam Teori Cincin. Ini ditanyakan dalam ujian master yang sedang saya persiapkan.
Membiarkan $A =\mathbb Q[X]/(X^{3}-1)$ .
(a) Buktikan itu $A$ adalah produk langsung dari dua domain integral.
(b) Apakah cincinnya $A$ isomorfik menjadi $\mathbb Q[X]/(X^{3}+1)$?
Saya bisa tahu $X^{3}-1$ bahwa sekarang elemen akan menjadi $ax^2+bx+c$, $a,b,c$ milik $\mathbb{Q}$. Tapi saya tidak tahu produk langsung dari domain integral mana yang akan membuat cincin ini.
Juga untuk ke-2 saya mengalami masalah dalam mendefinisikan peta sebagai $X^3$akan bertindak sebagai -1 di deringan kedua. Saya tidak berpikir seperti peta$\phi( ax^2+bx+c )=px^2 +qx+r$ akan berfungsi karena peta ini tidak $1-1$.
Jadi, adakah yang bisa memberi tahu bagaimana saya harus mendekati kedua masalah ini.
Jawaban
PETUNJUK :
(a) Gunakan Teorema Sisa Cina , yang mengatakan bahwa untuk sebuah cincin$A$ dan cita-cita $\mathfrak a,\mathfrak b$ dari $A$ seperti yang $\mathfrak a+\mathfrak b=(1)$, $A/\mathfrak{ab}\cong A/\mathfrak a\times A/\mathfrak b$. Selanjutnya, ring hasil bagi$\mathbb Q[X]/(f(X))$ adalah domain integral iff $(f(X))$ adalah iff ideal utama $f(X)$ tidak dapat direduksi (sejak $\mathbb Q[X]$ adalah PID).
(b) Saya mengklaim $\mathbb Q[X]/(X^3+1)\to\mathbb Q[X]/(X^3-1):X\mapsto-X$adalah isomorfisme. Periksa semua aksioma yang dipegang.
(a) Seperti yang dinyatakan Kenta S, sejak $1=(x^2-x+1)+x(x-1)$ dan $(x^2-x+1)(x-1)=x^3-1$, kita punya $\langle x^2-x+1\rangle+\langle x-1\rangle=\mathbb Q[x]$ dan sebagainya $\mathbb Q[x]/\langle x^3-1\rangle\cong \mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle\times \mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle$oleh Teorema Sisa Cina. Jelas,$x^2-x+1$ dan $x-1$tidak bisa direduksi. Karenanya,$\mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle$ dan $\mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle$ adalah domain.
(b) Jelas, $\mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle\cong \mathbb Q\cong\mathbb Q[x]/\langle x+1\rangle$. Juga,$\mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle\cong\mathbb Q[x]/\langle x^2+x+1\rangle$ oleh $x\to -x$. Karenanya,$\mathbb Q[x]/\langle x^3-1\rangle\cong \mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle\times \mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle\cong \mathbb Q[x]/\langle x^2+x+1\rangle\times \mathbb Q[x]/\langle x+1\rangle\cong\mathbb Q[x]/\langle x^3+1\rangle$.