Aku s $C^{*}$-aljabar cara paling modern untuk belajar QFT?
Saya bukan ahli QFT atau $C^{*}$-algebras, tapi saya mencoba mempelajari dasar-dasar QFT. Dalam semua buku / makalah dan materi lain yang saya ketahui, QFT dipelajari terutama menggunakan banyak analisis fungsional dan teori distribusi, tetapi saya tahu bahwa beberapa konstruksi aljabar juga digunakan, dan dalam konteks ini$C^{*}$-algebras tampaknya merupakan alat paling modern. Jadi, apa yang harus diketahui oleh siswa yang tidak berpengalaman seperti saya tentang pendekatan QFT dan mekanika statistik ini? Apa perannya$C^{*}$-aljabar dan metode aljabar lainnya dalam teori-teori itu? Masalah apa yang lebih cocok untuk mereka? Jika saya ingin belajar QFT, apakah saya harus belajar$C^{*}$-aljabar? Adakah masalah di mana metode aljabar tidak cocok? Apakah ada masalah di mana kedua pendekatan itu membuahkan hasil? Apa salahnya jika tidak mengetahui konstruksi aljabar ini?
TAMBAHKAN: Saya bekerja dengan mekanika statistik yang ketat tetapi saya mencoba mempelajari beberapa QFT karena ... yah, ini adalah dua area terkait pada tingkat tertentu. Namun, saya belum tahu apa atau seberapa banyak yang perlu saya pelajari tentang QFT. Saya memiliki latar belakang dalam analisis fungsional dan teori distribusi, tetapi tidak dalam$C^{*}$-aljabar. Sebagai siswa yang belum berpengalaman, akan sangat berguna untuk mendapatkan gambaran umum, yaitu masalah apa yang coba dipecahkan dalam QFT dan di mana masing-masing pendekatan ini berperan. Saya pikir masing-masing alat ini dapat diterapkan untuk berbagai jenis masalah atau bahkan subarea teori yang berbeda, tetapi saya tidak tahu pasti.
Jawaban
Pekerjaan PhD saya menggunakan C * -algebras cukup banyak, jadi saya rasa saya bisa mengklaim beberapa keahlian di sana, tapi saya bukan ahli QFT. Itu akan menjadi perspektif utama jawaban saya.
Titik awal yang baik untuk diskusi ini adalah teorema Stone-von Neumann, hasil dasar dalam operator aljabar dan mekanika kuantum. Setup pada dasarnya adalah prinsip ketidakpastian Heisenberg, yang menegaskan bahwa operasi pengukuran posisi$x$ dan momentumnya $p$ dari sistem kuantum jangan bolak-balik:
$$[x,p] = 2\pi i h$$
Sebuah pertanyaan matematis penting tentang mekanika kuantum di awal sejarahnya adalah: jenis objek itu$x$ dan $p$? Fisikawan ingin mereka menjadi operator self-adjoint di beberapa ruang Hilbert, tetapi Anda dapat membuktikan dengan teliti bahwa tidak ada pasangan operator terikat yang memiliki properti ini. Hasil ini termasuk dalam teori representasi aljabar Lie - pada dasarnya, aljabar Lie dengan dua generator dan relasi di atas tidak memiliki representasi oleh operator adjoint yang dibatasi di ruang Hilbert.
Ide Stone dan von Neumann adalah untuk fokus pada kelompok Lie daripada aljabar Lie; relasi di atas adalah turunan di 0 dari relasi berikut antara operator evolusi waktu$U(t)$ dan $V(s)$:
$$U(t) V(s) = e^{-ist} V(s) U(t)$$
Kelompok Lie dihasilkan oleh itu $U$ dan $V$disebut kelompok Heisenberg , dan Teorema Stone-von-Neumann menegaskan bahwa kelompok ini memiliki representasi kesatuan yang unik di ruang Hilbert, hingga kesetaraan kesatuan (dan beberapa kata sifat yang tidak akan saya bahas di sini). Ini memberikan fondasi yang bagus untuk mekanika kuantum dasar yang menyatukan gambaran teori Heisenberg dan Schrodinger ke dalam satu set aksioma.
Untuk menangani sistem kuantum yang lebih rumit, kita perlu menggeneralisasi ke lebih banyak operator yang memenuhi hubungan yang mungkin lebih rumit. Berikut cara kerja generalisasi ini:
- Mulailah dengan kelompok yang kompak secara lokal $G$; untuk teorema Stone-von-Neumann asli,$G = \mathbb{R}$.
- Transformasi Fourier menentukan dan isomorfisme $C^*(G) \to C_0(\hat{G})$, dimana $C^*(G)$ adalah grup C * -aljabar dan $\hat{G}$ adalah Pontryagin ganda.
- Isomorfisme semacam itu setara dengan representasi kesatuan dari aljabar perkalian silang $C_0(G) \rtimes G$.
- Semua irrep aljabar C * ini setara secara unitar.
Jadi sekarang kita memiliki mekanika kuantum untuk sistem dengan banyak partikel. Tapi bagaimana dengan QFT? Alasan dasar mengapa QFT sulit, seperti yang saya pahami, adalah karena teorema Stone-von-Neumann tidak lagi benar.
Untuk mekanika kuantum biasa, ruang fase klasik adalah lipatan berdimensi hingga - misalnya, ruang fase klasik dari sebuah partikel yang terbang di sekitarnya. $\mathbb{R}^3$ aku s $\mathbb{R}^6$. Analog klasik dari ruang fase dalam teori medan kuantum, bagaimanapun, adalah ruang jalur masuk$\mathbb{R}^3$, yang merupakan semacam lipatan dimensi tak hingga. Ini berarti banyak operator tak terhingga dengan banyak relasi pergantian tak terhingga, dan grup Lie berdimensi tak hingga terkait, sejauh mereka ada, memiliki teori representasi yang jauh lebih rumit.
Jadi sekarang saya bisa mencoba menjawab pertanyaan Anda. Aljabar operator sedikit banyak ditemukan untuk menyediakan model yang bagus untuk mekanika kuantum. Properti bagus yang dimiliki model ini - yaitu, hanya ada satu realisasinya hingga kesetaraan kesatuan - tidak lagi berlaku di QFT. Jadi satu tujuan (implisit) dari banyak pekerjaan di QFT adalah untuk mengatasi situasi ini dan mencari fondasi yang lebih baik. Saya tidak tahu apakah C * -algebras adalah cara terbaik atau paling modern untuk berpikir tentang QFT - mungkin tidak - tetapi tempat yang baik untuk memulai bagi seorang siswa adalah mempelajari teorema Stone-von-Neumann dalam beberapa generalitas yang masuk akal karena kita bisa menyalahkan banyak kesulitan QFT karena ketidakhadirannya.
Sekali lagi, jawaban sementara dari non-ahli: kemungkinan seseorang yang merupakan Master Jedi sejati dalam Fisika Matematika / Operator Aljabar akan ikut serta.
Dalam QM klasik, seseorang mulai dari ruang negara Hilbert $H$, dan membangun dari sana dengan melihat jenis operator khusus yang bertindak $H$(kesatuan untuk simmetri, dan pertapa untuk yang dapat diamati). Jadi, dalam arti tertentu, aljabar operator sudah ada sejak awal, meskipun dalam QM klasik terlihat dan terasa seolah-olah entitas dasar adalah status (kuantum), dan yang sekunder adalah proses (operator).
Tapi saya pikir adil untuk mengatakan bahwa gerakan telah menuju pembalik urutan, dalam arti dimulai dengan aljabar operator abstrak dan kemudian pemodelan himpunan keadaan menggunakan dualitas Gelfand yang terkenal. Yang baru saya buat sketsa adalah obrolan supermarket tentang Teori Aljabar Quantum Field (Anda dapat menemukan kondensat di sini ).
Anda mungkin bertanya mengapa: Saya tidak yakin, tetapi bagi saya tampaknya pergerakan menuju proses sebagai lawan negara masuk akal
- secara matematis (misalnya ia terhubung dengan Non-Commutative Geometry of Connes, di mana seseorang bekerja secara langsung pada aljabar non-komutatif seolah-olah mereka adalah aljabar fungsi di atas spasi non komutatif ghost). Aljabar cukup baik untuk menangkap topologi dan geometri ruang hantu, dan juga cocok untuk mesin yang lebih abstrak
- secara fisik. Ada kesadaran yang berkembang bahwa QM / QFT adalah tentang proses / interaksi, bukan dunia di mana sistem ada dengan sendirinya. Lihat misalnya Interpretasi Relasional Rovelli , untuk mengutip satu opsi saja.
TAMBAHAN: jadi, apakah C * aljabar adalah alat terbaru untuk QFT? Jawabannya adalah: QFT mana yang Anda pikirkan? Misalnya, dalam Quantum Gravity jawabannya pasti tidak. Di sana orang bermain dengan segala macam barang, mulai dari teori kategori yang lebih tinggi, ke geometri non komutatif yang telah disebutkan, hingga ... hampir semua hal di bawah matahari, dan bahkan sedikit lebih banyak.