Aku s $P(1)$ benar?

Question

Saya baru-baru ini menemukan bukti palsu ini dengan induksi bahwa semua bilangan bulat positif sama dari The Mathematical Gazette :

Membiarkan $P(n)$ menjadi propositisi:

"Jika maksimal dua bilangan bulat positif $n$ maka bilangan bulatnya sama. "

Jelas $P(1)$adalah benar. Berasumsi bahwa$P(n)$ benar, asumsikan itu $u$ dan $v$ adalah bilangan bulat positif sehingga maksimal $u$ dan $v$ aku s $n + 1$. Kemudian maksimal$u - 1$ dan $v - 1$ aku s $n$, memaksa $u - 1 = v - 1$ dengan validitas $P(n)$. Karena itu,$u = v$.

Saya melihat ini, hampir duplikat: Temukan kesalahan dalam perlakuan berikut , dan saya memahaminya, tetapi saya bertengkar dengan seseorang. Mereka bilang itu kasus dasarnya$P(1)$sebenarnya tidak benar, karena, kedua bilangan bulat itu sudah sama, atau keduanya berbeda, dan hanya kasus di mana$P(1)$ yang benar adalah dimana mereka pasti sudah sama, dalam hal ini kita belum membuktikan apapun.

Saya katakan, itu kasus khusus $n = 1$ memaksa angkanya menjadi sama, yang membuat$P(1)$ benar.

Siapa yang benar?

Answer 1

Kasus dasarnya benar. Kekeliruan ada pada langkah induksi ketika Anda berasumsi demikian$u-1$ dan $v-1$ adalah bilangan bulat positif.