Aku s $\sigma(n)$ suntik di set $A=\left\{n\in\mathbb{N}: \mbox{$n $ is odd and $\ omega (n) = 1 $} \right\}$?
Beberapa waktu lalu saya bertanya apakah fungsi penjumlahan dari pembagi $σ(n)$ adalah suntik, yang jawabannya tidak dan saya diberikan beberapa contoh yang berlawanan, kemudian saya mulai bertanya-tanya apakah dengan membatasi $σ(n)$ untuk tertentu $A\subset\mathbb{N}$, bisa jadi suntik. Yang pertama saya temukan adalah himpunan bilangan prima, dan dari situ saya mencoba melihat himpunan yang lebih umum, misalnya,$A=\left\{n\in\mathbb{N}: \mbox{$n$ is odd and $\ omega (n) = 1$} \right\}$ dimana $\omega(n)$ mewakili jumlah pembagi utama selain $n$. Dengan cara ini, jika saya ambil$a,b\in A$ seperti yang $a\neq b$, jadi kami ingin membuktikannya $\sigma(a)\neq \sigma(b)$. Catat itu$a,b\in A$ menyiratkan itu $a=p^{\alpha}$ dan $b=q^\beta$ dengan $\alpha,\beta\in\mathbb{N}$ dan $p,q$bilangan prima aneh. Sekarang, sejak$a\neq b$, maka anggaplah tanpa kehilangan keumuman itu $a<b$. Kami memiliki kasus:
Kasus 1: Jika $p=q$, lalu wajib $\alpha<\beta$ dan $\sigma(a)< \sigma(b)$.
Kasus 2: Jika $p\neq q$, kemudian
Kasus 2.1: Jika $p<q$ dan $\alpha\le\beta$, kemudian $\sigma(a)< \sigma(b)$
Kasus 2.2: Jika $p<q$ dan $\beta<\alpha$, kemudian $\tau(b)=\beta +1<\tau(a)=\alpha+1$.
Dan berhenti, dapatkah seseorang memberi saya ide bagaimana melanjutkan tes? atau beritahu saya jika salah bahwa sigma tidak injeksi di A?
Jika saya memiliki kesalahan dalam ujian, beri tahu saya.
catatan: $\tau(n)$ mewakili jumlah pembagi positif dari $n$.
Terima kasih sebelumnya.
Jawaban
Saya rasa ini buktinya, mari kita lihat dulu proposisi berikut:
Dalil: $I\left( p^{n}q^{m}\right) <2$ untuk apapun $ p, q $ bilangan prima aneh yang berbeda dan $ n, m $ bilangan bulat positif.
Dimana $I$ menunjukkan indeks kelimpahan
Bukti: Perhatikan itu$p,q$ adalah bilangan prima ganjil yang berbeda, jadi $(p, q)=1$ menyiratkan pada gilirannya $\left(p^{n}, q ^{m}\right) = 1 $ untuk apapun $n, m \in\mathbb{N}$dan karena indeks kelimpahan adalah perkalian, kita memiliki \ begin {eqnarray *} I \ left (p ^ {n} q ^ {m} \ kanan) = I \ kiri (p ^ {n} \ kanan) I \ kiri (q ^ {m} \ kanan) = \ kiri (\ cfrac {\ sigma \ kiri (p ^ {n} \ kanan)} {p ^ {n}} \ kanan) \ kiri (\ cfrac {\ sigma \ kiri (q ^ {m} \ kanan)} {q ^ {m}} \ kanan) \ end {eqnarray *}
Tapi, \ begin {eqnarray *} \ cfrac {\ sigma \ left (p ^ {n} \ right)} {p ^ {n}} & = & \ cfrac {1} {p ^ {n}} + \ cfrac {p} {p ^ {n}} + \ dots + \ cfrac {p ^ {n}} {p ^ {n}} \\ & = & \ cfrac {1} {p ^ {n}} + \ cfrac { 1} {p ^ {n-1}} + \ titik + 1 \\ & = & \ sum_ {k = 0} ^ {n} \ kiri ({1} / {p} \ kanan) ^ {k} = \ cfrac {1 - {\ left ({1} / {p} \ right)} ^ {n}} {1 - {\ left ({1} / {p} \ right)}} <\ cfrac {1} {1 - {\ left ({1} / {p} \ right)}} \ end {eqnarray *}
Demikian pula untuk $ q $ kita mendapatkan
\ begin {eqnarray *} \ cfrac {\ sigma \ left (q ^ {m} \ right)} {q ^ {m}} <\ cfrac {1} {1 - {\ left ({1} / {q} \ kanan)}} \ end {eqnarray *}
Di sisi lain, sebagai $ p $ dan $ q $ adalah bilangan prima ganjil yang berbeda, maka kita dapat berasumsi tanpa kehilangan keumuman itu $3\le p<q$, ini adalah $p\ge3$ dan $q\ge5$, dari sini
\ begin {eqnarray *} \ cfrac {1} {1 - {\ left ({1} / {p} \ right)}} \ le \ cfrac {1} {1 - {\ left ({1} / {3 } \ right)}} \ quad dan \ quad \ cfrac {1} {1 - {\ left ({1} / {q} \ right)}} \ le \ cfrac {1} {1 - {\ left ({ 1} / {5} \ kanan)}} \ end {eqnarray *}
Begitu,
\ begin {eqnarray *} I \ left (p ^ {n} q ^ {m} \ right) = \ left (\ cfrac {\ sigma \ left (p ^ {n} \ kanan)} {p ^ {n} } \ kanan) \ kiri (\ cfrac {\ sigma \ kiri (q ^ {m} \ kanan)} {q ^ {m}} \ kanan) & <& \ kiri (\ cfrac {1} {1 - {\ kiri ({1} / {p} \ kanan)}} \ kanan) \ kiri (\ cfrac {1} {1 - {\ kiri ({1} / {q} \ kanan)}} \ kanan) \\ & \ le & \ left (\ cfrac {1} {1 - {\ left ({1} / {3} \ right)}} \ right) \ left (\ cfrac {1} {1 - {\ left ({1} / {5} \ kanan)}} \ kanan) = \ cfrac {15} {8} <2 \ end {eqnarray *}
Sekarang, mari kita pergi dengan buktinya $σ(n)$ adalah suntikan di set $A=\left\lbrace n\in\mathbb{N}:\mbox{$n$ is odd and $\ omega (n) = 1$}\right\rbrace $
Bukti: Diberikan$a,b∈A$ seperti yang $a≠b$, jadi kami ingin membuktikannya $σ(a)≠σ(b)$. Catat itu$a,b∈A$ menyiratkan itu $a=p^α$ dan $b=q^β$ dengan $α,β∈N$ dan $p,q$bilangan prima aneh. Sekarang, dari$a\neq b$ kasus-kasus berikut muncul:
Kasus 1: Jika $p=q$, lalu dengan wajib $\alpha\neq\beta$ dan $\sigma(a)\neq\sigma(b)$.
Kasus 2: Jika $p\neq q$, lalu anggap saja $\sigma(a)=\sigma(b)$, dalam hati nurani $I\left( ab\right)=I\left( a\right)I\left( b\right)<2$, di mana kita mendapatkan \ begin {eqnarray *} \ left (\ cfrac {\ sigma \ left (p ^ {\ alpha} \ right)} {p ^ {\ alpha}} \ right) \ left (\ cfrac {\ sigma \ left (q ^ {\ beta} \ right)} {q ^ {\ beta}} \ right) <2 \ end {eqnarray *} atau yang setara \ begin {eqnarray *} \ sigma \ left (p ^ {\ alpha} \ right) \ sigma \ left (q ^ {\ beta} \ right) <2p ^ {\ alpha} q ^ {\ beta} \ end {eqnarray *} tapi bagaimana$\sigma(a)=\sigma(b)$, lalu \ begin {eqnarray *} \ left (\ sigma \ left (p ^ {\ alpha} \ right) \ right) ^ 2 <2p ^ {\ alpha} q ^ {\ beta} \ end {eqnarray *} dan yang terakhir ini berlaku untuk semua$ p, q $ bilangan prima aneh yang berbeda seperti itu $\sigma(a)=\sigma(b)$ dan $ \alpha, \beta $bilangan bulat positif. \ end {eqnarray *}
Saya telah melakukan kesalahan pada tes sebelumnya, itu sebabnya saya mengeditnya, saya berterima kasih kepada @shibai karena telah membuat saya memperhatikan. Tes saat ini tidak lengkap, tapi mungkin merupakan petunjuk untuk tes lengkap.