Analog dari kelompok ortogonal khusus untuk bentuk kuadrat tunggal

Dec 14 2020

Kelompok ortogonal khusus $SO(n)$ adalah subkelompok dari kelompok linier khusus $SL(n)$ dari $n\times n$matriks dengan determinan yang mempertahankan bentuk bilinear simetris non-degenerasi. Jika bentuk bilinear seperti itu dianggap sebagai bentuk yang terkait dengan matriks identitas, maka$$SO(n):=\{M\in SL(n)\: | \: MM^{t} = I\}$$Adakah penjelasan yang bagus tentang kelompok yang mempertahankan bentuk bilinear simetris tunggal? Misalnya jika kita ambil$I_{k}=(a_{i,j})$ menjadi matriks dengan $a_{i,i} = 1$ untuk $1\leq i\leq k$, $a_{i,i} = 0$ untuk $k+1\leq i\leq n$, dan $a_{i,j} = 0$ untuk $i\neq j$, lalu bagaimana kita mendeskripsikan grup $$SO_{I_k}(n):=\{M\in SL(n)\: | \: MI_kM^{t} = I_k\}$$ dari determinan satu matriks yang melestarikan $I_k$?

Terima kasih banyak.

Jawaban

7 YCor Dec 14 2020 at 00:37

Ya, ini cukup langsung secara umum, di bidang yang sewenang-wenang (katakanlah dengan $0\neq 2$). Membiarkan$m$ menjadi dimensi kernel dan memperbaiki subruang suplemen.

Kemudian di bawah dekomposisi ini, bentuk kuadrat $q$ menulis sebagai $\begin{pmatrix}q_0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}$, dengan $q_0$tidak merosot. Kemudian kelompok ortogonal adalah$$\begin{pmatrix}\mathrm{O}(q_0) & 0\\ \mathrm{Mat}_{m,n-m} & \mathrm{GL}_m\end{pmatrix}.$$ Khususnya, $\mathrm{SO}(q)$ terdiri dari matriks determinan $1$, yaitu balok diagonal memiliki kedua determinan tersebut $1$ atau keduanya $-1$ (yang terakhir dimungkinkan jika kedua blok bukan nol, yaitu, $q\neq 0$ dan $q$ merosot: dalam hal ini, $\mathrm{SO}(q)$ memiliki 2 komponen sebagai kelompok aljabar, sedangkan untuk $q=0$ atau $q$ tidak merosot, ia memiliki satu komponen).


Ada deskripsi serupa untuk bentuk bolak-balik, kelompok ortogonal $\mathrm{O}(q_0)$diganti dengan kelompok simplektis. Kelompok simplektis sudah menjadi determinan$1$, grup determinan 1 dari bentuk bolak-balik kemudian dihubungkan dalam semua kasus.


Konsekuensi lain dari deskripsi: Ini juga mengikuti bahwa radikal unipoten ($\mathrm{Mat}_{n,m-n}$) dari $\mathrm{SO}(q)$terkandung dalam subgrup turunannya; itu ada di subkelompok turunan dari komponen yang terhubung$\mathrm{SO}(q)^\circ$ kecuali kalau $(n-m,m)=(1,1)$. Juga jika$\min(n-m,m)\ge 2$, kami melihat itu $\mathrm{SO}(q)^\circ$ sempurna.