Apa arti homomorfisme coboundary ini untuk hiperkohomologi grup?

Question

$\require{AMScd}$ Membiarkan $\Gamma=\{1,\gamma\}$ menjadi kelompok urutan 2. Dalam masalah saya dari kohomologi Galois kelompok reduktif nyata, saya sampai pada diagram komutatif dari $\Gamma$-modules (kelompok abelian dengan $\Gamma$-action) \ begin {persamaan *}% \ label {e: cd} \ begin {CD} 1 @ >>> Q_1 @ >>> Q_2 @ >>> Q_3 @ >>> 1 \\ @. @VV {\ rho_1} V @VV {\ rho_2} V @VV {\ rho_3} V \\ 1 @ >>> X_1 @ >>> X_2 @ >>> X_3 @ >>> 1 \\ @. @VV {\ alpha_1} V @VV {\ alpha_2} V @ VV {\ alpha_3} V \\ 1 @ >>> P_1 @ >>> P_2 @ >>> P_3 @ >>> 1 \\ \ end {CD } \ end {persamaan *} dengan baris yang sama persis, tetapi tidak kolom (dan$\alpha_k\circ\rho_k\neq 0$). Baris atas dan bawah diagram dipisahkan secara kanonik:$$Q_2=Q_1\oplus Q_3\quad\text{ and }\quad P_2=P_1\oplus P_3,$$ dan sambungan ini kompatibel: $$ \alpha_2(\rho_2(0,q_3))= \big(\,0,\,\alpha_3(\rho_3(q_3))\,\big)\tag{$*$} $$ untuk $q_3\in Q_3$. Saya menganggap kelompok hiperkohomologi Tate$${\Bbb H}^0(\Gamma, Q_3\overset{\rho_3}\longrightarrow X _3)\quad\text{ and } \quad{\Bbb H}^0(\Gamma,X _1\overset{\alpha_1}\longrightarrow P_1),$$ di mana kedua kompleks pendek dalam derajat $(-1,0)$.

Di bawah ini saya membangun "dengan tangan" sebuah homomorfisme coboundary kanonik $$\delta\colon\, {\Bbb H}^0(\Gamma, Q_3\to X _3)\,\longrightarrow\, {\Bbb H}^0(\Gamma,X _1\to P_1),$$

Pertanyaan. Bagaimana saya bisa mendapatkan homomorfisme coboundary ini dari sejenis teori umum?

Ucapan. Untuk grup$\Gamma$dari order 2 (dan juga untuk grup siklik manapun$\Gamma$) cohomology dan hypercohomology Tate adalah periodik dengan periode 2. Oleh karena itu, kami $\delta$ adalah peta $${\Bbb H}^1(\Gamma,\, Q_3\to X_3\to 0)\, \longrightarrow \, {\Bbb H}^2(\Gamma,\, 0\to X_1\to P_1),$$ di mana kedua kompleks dalam derajat $(-2,-1,0)$.

Konstruksi. Kami mulai dengan$[ q_3, x_3]\in {\Bbb H}^0(\Gamma, Q_3\overset{\rho_3}\longrightarrow X _3)$. Sini$( q_3, x_3)\in Z^0(\Gamma,Q_3\to X _3)$, yaitu, \ begin {persamaan} q_3 \ di Q_3, \ quad x_3 \ in X_3, \ quad \, ^ {\ gamma \ kern -0.8pt} q_3 + q_3 = 0, \ qquad \, ^ {\ gamma \ kern -0.8pt} x_3- x_3 = \ rho_3 (q_3). \ Tag {$**$} \ end {persamaan} Kami mengangkat secara kanonik $ q_3$ untuk $$ q_2=(0, q_3)\in Q_1\oplus Q_3= Q_2,$$ dan kami angkat $ x_3$untuk beberapa $ x_2\in X _2$. Kami menulis$$\alpha_2( x_2)=( p_1, p_3)\in P_1\oplus P_3=P_2,$$ dimana $ p_3=\alpha_3( x_3)\in P_3$ dan $ p_1\in P_1$. Kami mengatur$$ x_1=\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_2- x_2-\rho_2( q_2).$$ Sejak oleh $(*)$ kita punya $$\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_3- x_3=\rho_3( q_3),$$ kami melihat itu $ x_1\in X _1$. Kami menghitung:$$\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_1+ x_1=\,^{\gamma\kern -0.8pt}(\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_2- x_2)-{}^{\gamma\kern -0.8pt}\rho_2(0, q_3)+ (\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_2- x_2)-\rho_2(0, q_2)=-\rho_2(0,\,^{\gamma\kern -0.8pt} q_3+ q_3)=0$$ oleh $(**)$. Selanjutnya,\begin{align*} \alpha_1( x_1)&=\,^{\gamma\kern -0.8pt}\alpha_2(x_2)-\alpha_2(x_2)-\alpha_2(\rho_2(q_2))\\ &=\,^{\gamma\kern -0.8pt}( p_1, p_3)-( p_1, p_3)-( 0,\alpha_3(\rho_3( q_3)))\\ &=\big(\,^{\gamma\kern -0.8pt}p_1-p_1,\,^{\gamma\kern -0.8pt}p_3-p_3-\alpha_3(\rho_3(q_3))\big)\\ &=\big(\,^{\gamma\kern -0.8pt}p_1-p_1,\,\alpha_3(\,^{\gamma\kern -0.8pt}x_3-x_3-\rho_3(q_3))\big)\\ &=(\,^{\gamma\kern -0.8pt} p_1- p_1,0) \end{align*} oleh $(*)$ dan $(**)$. Jadi$$\alpha_1(x_1)=\,^{\gamma\kern -0.8pt} p_1-p_1.$$ Kami melihat itu $(x_1, p_1)\in Z^0(\Gamma, X _1\overset{\alpha_1}\longrightarrow P_1)$. Kami mengatur$$\delta[ q_3, x_3]=[ x_1, p_1]\in {\Bbb H}^0(\Gamma,X _1\to P_1).$$ Pemeriksaan langsung menunjukkan bahwa peta $\delta$ adalah homomorfisme yang terdefinisi dengan baik.

Answer 1

Saya percaya cara termudah untuk menangani ini adalah dalam formalisme kategori triangulasi. Anda dapat melakukannya dengan berbagai cara: bekerja dengan kategori turunan tak terbatas atau (mungkin lebih mudah) mengganti setiap modul$M$ dengan $\operatorname{Hom}_\Gamma(\mathcal R,M)$ dimana $\mathcal R$ adalah resolusi lengkap untuk $\Gamma$, yaitu kompleks 2-periodik tak terbatas standar $$\cdots\xrightarrow{1-\gamma}\mathbb Z[\Gamma]\xrightarrow{1+\gamma}\mathbb Z[\Gamma]\xrightarrow{1-\gamma}\mathbb Z[\Gamma]\xrightarrow{1+\gamma}\cdots$$dari $\Gamma$-modul.

Biarkan $X_1\to X_2\to X_3\to\Sigma X_1$ menjadi segitiga tepat dalam kategori triangulasi sewenang-wenang, dan biarkan $Q_3\to X_2\to P_1$menjadi morfisme sewenang-wenang dengan komposit nol. Membiarkan$P$ menjadi serat $X_1\to P_1$ dan biarkan $Q$ jadilah kopi dari $Q_3\to X_3$. Tujuan kami adalah membangun dari semua itu peta kanonik$Q\to\Sigma P$. Ternyata ada peta semacam itu yang terlebih lagi isomorfisme jika dan hanya jika$Q_3\to X_2\to P_1$ tepat.

Sejak komposit $Q_3\to X_2\to P_1$ nol, peta $X_2\to P_1$ faktor melalui serat $Q_3\to X_2$, $X_2\to Q_0$, dan peta $Q_3\to X_2$ faktor melalui serat $P_0\to X_2$ dari $X_2\to P_1$. Jadi semuanya$X_1\to P_1$ faktor ke dalam komposit $X_1\to X_2\to Q_0\to P_1$, sementara $Q_3\to X_3$ faktor ke dalam komposit $Q_3\to P_0\to X_2\to X_3$.

Pertama perhatikan bahwa dalam keadaan ini kopi $Q_3\to P_0$ isomorfik terhadap serat $Q_0\to P_1$; menunjukkannya dengan$H$, komposit $P_0\to H\to Q_0$ adalah komposit $P_0\to X_2\to Q_0$.

Kami mendapatkan delapan contoh aksioma oktahedron, memberi tahu kami bahwa untuk berbagai komposit $f\circ g$ ada segitiga yang tepat $\operatorname{fibre}(f)\to\operatorname{cofibre}(g)\to\operatorname{cofibre}(f\circ g)\to\operatorname{cofibre}(f)=\Sigma\operatorname{fibre}(f)$ dan $\operatorname{fibre}(g)\to\operatorname{fibre}(f\circ g)\to\operatorname{fibre}(f)\to\operatorname{cofibre}(g)=\Sigma\operatorname{fibre}(g)$. Sebenarnya, tidak semuanya dibutuhkan, tetapi untuk kelengkapan izinkan saya mendaftar semuanya.

Pasangan yang bisa disusun	memberikan segitiga yang tepat
$Q_3\to P_0\to X_2$	$H\to Q_0\to P_1\to\Sigma H$
$Q_3\to X_2\to X_3$	$X_1\to Q_0\to Q\to \Sigma X_1$
$Q_3\to P_0\to X_3$	$\color{red}{P\to H\to Q\to\Sigma P}$
$P_0\to X_2\to X_3$	$P\to X_1\to P_1\to\Sigma P$
$X_1\to X_2\to Q_0$	$Q_3\to X_3\to Q\to\Sigma Q_3$
$X_1\to X_2\to P_1$	$P\to P_0\to X_3\to\Sigma P$
$X_1\to Q_0\to P_1$	$\color{red}{P\to H\to Q\to\Sigma P}$
$X_2\to Q_0\to P_1$	$Q_3\to P_0\to H\to\Sigma Q_3$

Untuk meletakkan semuanya dalam satu diagram - berikut ini, garis dengan tiga objek di atasnya mewakili segitiga yang tepat; semuanya bolak-balik.