Apa hubungan antara Lipschitz dan $BMO$ spasi?

Aug 17 2020

Membiarkan $0 < \alpha < 1$. Ruang angkasa$\text{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R}^n)$ fungsi berkelanjutan Lipschitz dengan keteraturan $\alpha$ adalah

$$ \text{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R}^n)=\{f: |f(x)-f(y)|\le C|x-y|^{\alpha} \quad\text{ for a.e. }\,x, y \in \mathbb{R}^n\}. $$ Konstanta terkecil seperti itu $C$ disebut $\text{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R}^n)$ norma $f$ dan dilambangkan dengan $\|f\|_{\text{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R}^n)}$.

Norma ini memiliki representasi integral berikut:

$$ \|f\|_{\text{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R}^n)}\thickapprox\sup_{B}\frac{1}{|B|^{1+\alpha/n}}\int_{B}|f(x)-f_{B}|dx, $$ dimana $f_{B}=\frac{1}{|B|}\int_{B}f(y)dy$. Jelas itu untuk$\alpha=0$ sisi kanan adalah definisi $BMO$ norma $f$.

Berdasarkan fakta tersebut dapat dikatakan bahwa ruang Lipschitz termasuk $BMO$ruang? Apa hubungan antara Lipschitz dan$BMO$ spasi?

Jawaban

2 shalop Aug 19 2020 at 01:40

Saya akan mendefinisikan sekumpulan ruang yang semuanya menggambarkan fungsi dari "keteraturan $\alpha$" dalam arti.

Ruang Hölder: Di sini$\alpha$ akan masuk $[0,1]$. Menetapkan$Lip_{\alpha}(\Bbb T^n)$ menjadi ruang dari semua fungsi $f:\Bbb T^n \to \Bbb R$ seperti yang $|f(x)-f(y)| \leq C|x-y|^{\alpha}$ untuk beberapa $C>0$ independen dari $x,y \in \Bbb T^n$. Konstanta terkecil seperti itu$C$ disebut Seminorm Holder, dilambangkan dengan $[f]_{\alpha}$. Norma ruang Banach aktif$Lip_{\alpha}(\Bbb T^n)$ didefinisikan oleh $\|f\|_{L^{\infty}(\Bbb T^n)}+[f]_{\alpha}.$ Perhatikan bahwa kapan $\alpha = 0$ kita baru saja mendapatkan $L^{\infty}(\Bbb T^n)$. Sama seperti yang mungkin dijelaskan$Lip_{\alpha}(\Bbb T^n)$ sebagai sekumpulan fungsi $f$ seperti yang $\sup_{x\in Q}|f(x)-f_Q| \leq C|Q|^{\alpha/n},$ untuk semua kubus $Q \subset \Bbb T^n$, dimana $f_{Q} := \frac1{|Q|} \int_Q f$, dan $|Q|$ adalah ukuran Lebesgue dari $Q$. (Membuktikan kesetaraan ini sulit.)

Besov spasi: Di sini$\alpha$dapat berupa bilangan real apa pun. Fungsi apa saja$f:\Bbb T^n \to \Bbb R$mengakui dekomposisi kanonik yang disebut dekomposisi Littlewood-Paley $f = \sum_{j\ge 0} f_j$. Ruang Besov$B^{\alpha}_{\infty,\infty}(\Bbb T^n)$ terdiri dari fungsi-fungsi itu $f$ seperti yang $\|f_j\|_{L^{\infty}(\Bbb T^n)} \leq C2^{-\alpha j}$ untuk beberapa $C$ yang independen $j$. Konstanta terkecil$C$yang dianut ketidaksetaraan ini disebut norma Besov. Ini menginduksi struktur ruang Banach$B^{\alpha}_{\infty,\infty}$. Ruang angkasa$B^1_{\infty,\infty}$disebut kelas Zygmund dan secara ekuivalen dijelaskan sebagai himpunan semua fungsi$f$ seperti yang $$|f(x+h)+f(x-h)-2f(x)| \leq C|h|,$$ dan $B^0_{\infty,\infty}$ terdiri dari turunan distribusi fungsi dari kelas Zygmund.

Ruang BMO: Di sini$\alpha$ akan masuk $[0,1]$. Mari kita tentukan ruangnya$BMO_{\alpha}(\Bbb T^n)$ menjadi ruang dari semua fungsi $f:\Bbb T^n \to \Bbb R$ seperti yang $\sup_Q \frac{1}{|Q|^{1+\alpha/n}}\int_{Q} |f-f_Q|dx <\infty$, di mana sup ada di atas semua kubus $Q\subset \Bbb T^n$, dan $f_{Q} := \frac1{|Q|} \int_Q f$, dan $|Q|$ adalah ukuran Lebesgue dari $f$. Norma tentang$BMO_{\alpha}$ didefinisikan sebagai supremum itu, yang membuatnya menjadi ruang Banach.

Ruang fungsi kontinu: Di sini$\alpha=:k$ harus mengambil nilai-nilai $\Bbb N$. Kemudian$C^{k}(\Bbb T^n)$ didefinisikan sebagai himpunan dari semua fungsi $f:\Bbb T^n \to \Bbb R$ sedemikian rupa sehingga semua turunan parsial urutan hingga $k$terus menerus. Norma diartikan sebagai penjumlahan dari norma seragam dari semua turunan parsial sampai dengan urutan$k$. Sekali lagi, kami mendapatkan ruang Banach.


Jadi sekarang pertanyaannya adalah: bagaimana semua ruang ini terkait?

Teorema 1: Jika$\alpha \in (0,1)$ kemudian $$ Lip_{\alpha}(\Bbb T^n) = B^{\alpha}_{\infty,\infty} (\Bbb T^n)= BMO_{\alpha}(\Bbb T^n).$$ Semua norma setara.

Teorema 2: Untuk$\alpha = 0$ kami memiliki inklusi berikut: $$C^0(\Bbb T^n) \subsetneq L^{\infty}(\Bbb T^n) \subsetneq BMO_0(\Bbb T^n) \subsetneq B^0_{\infty,\infty}(\Bbb T^n).$$Jadi tidak ada norma yang setara. Untuk$\alpha=1$ kami memiliki urutan inklusi yang sesuai.

Pada dasarnya persamaan dalam Teorema 1 selalu bermuara pada perhitungan pada blok diadik. Mereka gagal$\alpha=0$ Karena fakta bahwa seri $\sum 2^{-\alpha n}$ menyimpang untuk $\alpha=0$.

Maaf jika ini tidak jelas. Akan mencoba memperbarui dengan referensi.