Apa hubungan antara teorema HK pertama dan teorema HK kedua?

Question

Teorema Hohenberg-Kohn (HK) pertama : Potensi eksternal$v(\vec{r})$ditentukan, dalam konstanta aditif sepele, oleh kerapatan elektron keadaan dasar$\rho(\vec{r})$.

Dari mekanika kuantum dasar, kita tahu bahwa:$v(\vec{r})\rightarrow \hat{H} \rightarrow \psi_0\rightarrow \rho$. Sesuai dengan teorema HK pertama, kita selanjutnya dapat mengetahui bahwa$\rho \rightarrow v(\vec{r})\rightarrow \hat{H} \rightarrow \psi_0,\psi_1,\cdots$. Intinya, teorema HK pertama membuktikan pemetaan satu-ke-satu antara potensi eksternal dan kepadatan keadaan dasar$\rho$dalam sistem banyak elektron.

Teorema HK kedua : Ada fungsi universal kerapatan,$F_{HK}[\rho']$, sehingga untuk sembarang$N$-kepadatan yang mewakili ($\textit{i.e.}$, setiap densitas yang berasal dari beberapa fungsi gelombang untuk suatu$N$-sistem elektron)$\rho(\vec{r})$, yang menghasilkan sejumlah elektron tertentu$N$, fungsi energinya adalah,$$E[\rho'] = F_{HK}[\rho']+\int \rho'(\vec{r})v(\vec{r}) d\vec{r} \geq E_g \tag{1} $$di mana$E_g$adalah energi keadaan dasar dan persamaan berlaku ketika densitas$\rho'(\vec{r})$adalah, mungkin merosot, kepadatan keadaan dasar$\rho_0'(\vec{r})$untuk potensi luar$v(\vec{r})$.

Dari kedua pernyataan tersebut, saya tidak melihat adanya hubungan antara kedua teorema tersebut. Jadi apa hubungan antara kedua teorema? Jika$F_{HK}(\rho')$adalah fungsi dari kepadatan keadaan dasar, saya dapat membangun hubungan antara kedua teorema. Tetapi densitas di$F_{HK}[\rho]$tidak diperlukan kepadatan keadaan dasar.

• Tentang teorema HK pertama:http://unige.ch/sciences/chifi/wesolowski/public_html/dft_epfl_2016/part_I/dftepfl_part_II.pdf
• Tentang teorema HK kedua:https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780128136515000048?via%3Dihub

Answer 1

Menggunakan notasi Anda, definisi untuk fungsi universal adalah

$$ F_{HK}[\rho] = \left< \psi_0[\rho] \right| \hat{T} + \hat{W} \left| \psi_0[\rho] \right>, $$

di mana$\hat{T}$dan$\hat{W}$masing-masing adalah operator interaksi kinetik dan elektron-elektron. Definisi ini dimungkinkan karena pemetaan satu-ke-satu antara densitas dan fungsi gelombang keadaan dasar yang sesuai (yaitu, karena$\psi_0$adalah fungsi dari$\rho$), yang saya yakini adalah koneksi yang Anda cari.

Answer 2

Hubungan formal adalah bahwa teorema pertama digunakan dalam pembuktian teorema kedua. Memang, yang kedua adalah terjemahan dari prinsip bahwa$E[\Psi']$memiliki minimum pada fungsi gelombang keadaan dasar yang benar$\Psi$, menggunakan korespondensi satu-satu$\rho \leftrightarrow \Psi$diketahui dari teorema pertama.

Derivasi dapat ditemukan di makalah asli oleh Kohn dan Hohenberg (bagian I-2.). Ini cukup pendek dan mudah dibaca, jadi layak untuk dilihat.