Apa intuisi di balik Bures dan metrik sudut?
Saya membaca Pengukuran jarak untuk membandingkan proses kuantum nyata dan ideal dan dijelaskan motivasi di balik metrik Bures dan metrik sudut.
Metrik Bures didefinisikan sebagai:
$$B(\rho,\sigma)=\sqrt{2-2 F(\rho,\sigma)}$$
Metrik sudut didefinisikan sebagai:
$$A(\rho,\sigma)=\arccos(\sqrt{F(\rho,\sigma)})$$
Dimana $F(\rho,\sigma)$ adalah kesetiaan antara $\rho$ dan $\sigma$matriks kepadatan. Dia berkata bahwa kita dapat memahami motivasi seperti itu pada keadaan murni: kita akan melihatnya berasal dari jarak euklidian yang biasa.
Jika saya melakukan perhitungan seperti itu, saya akan mendefinisikan jarak euclidian sebagai:
$$d(X,Y)=||X-Y||=\sqrt{\langle X-Y | X-Y \rangle}=\sqrt{2-2 Re(\langle X | Y \rangle)} $$
Untuk menemukan metrik Bure, saya harus berasumsi $\langle X | Y \rangle \geq 0$.
Tetapi mengapa demikian? Misalnya jika saya mempertimbangkan:
$$|\psi \rangle = | a \rangle + |b \rangle $$
Saya tidak bisa mengubah fase relatif antara $|a \rangle$ dan $|b \rangle$ seperti yang saya inginkan (karena itu akan mengubah keadaan fisik $|\psi \rangle$). Jadi jika$\langle a | b \rangle $ bukan angka positif. Saya kira tidak banyak yang bisa saya lakukan untuk itu.
Bagaimana memahami intuisi di balik metrik seperti itu? Haruskah saya benar-benar menganggapnya sebagai definisi "abstrak" yang saya verifikasi bahwa ia memenuhi aksioma metrik? Tapi akan aneh cara koran menjelaskan motivasi di baliknya.
Pertanyaan serupa untuk metrik sudut.
[Sunting]: Saya pikir itu mungkin datang dari fakta kami ingin mendefinisikan jarak antara keadaan fisik . Mengingat$|\Phi \rangle$ dan $| \Psi \rangle$dua keadaan fisik, fase global mereka tidak penting. Jadi, untuk memiliki rumus sederhana kita bisa memilih tahapannya$\phi_{\Psi}, \phi_{\Phi}$ yang seperti itu $\langle \Psi | \Phi \rangle \geq 0$ yang sesuai dengan batas atas: $\sup_{\phi_{\Psi}, \phi_{\Phi}}(Re[\langle \Psi | \Phi \rangle])=\langle \Psi | \Phi \rangle$. Entah bagaimana itu masuk akal karena kami tertarik pada jarak antara keadaan fisik dan bukan matematika. Dengan demikian, kami dapat memperbaiki fase global dari kedua kondisi tersebut seperti yang kami inginkan.
Apakah itu masuk akal ?
Jawaban
Mengisi sejumlah detail demi jawaban lengkap -
Mulai dari artikel terkait, Pengukuran jarak untuk membandingkan proses kuantum nyata dan ideal [arXiv: quant-ph / 0408063] , definisi kesetiaan diberikan dalam Persamaan. (4) sebagai$$ F(\rho,\sigma) = \mathrm{tr}\Bigl( \!\sqrt{\sqrt{\rho} \!\phantom|\sigma \phantom|\!\!\sqrt{\rho}\phantom|}\Bigr)^2$$- yang mungkin terlihat sedikit menakutkan, tetapi mendemonstrasikan dua hal penting tentang fidelitas: bahwa ia didefinisikan secara umum pada operator kepadatan (bukan hanya vektor status), dan selalu berupa bilangan real non-negatif. Jika Anda ingin menghitungnya untuk keadaan murni, definisi di atas akhirnya setara dengan$$ F(\lvert \psi\rangle\! \langle \psi\rvert,\lvert \phi\rangle\! \langle \phi\rvert) = \langle\psi\vert \phi\rangle\! \langle\phi\vert \psi\rangle = \bigl\lvert \langle\psi\vert \phi\rangle \bigr\rvert^2$$ yang selalu merupakan riil non-negatif, dan khususnya, yang tidak bergantung pada fase global apa pun yang mungkin Anda pertimbangkan untuk salah satu negara $\lvert \psi \rangle$ atau $\lvert \phi \rangle$ (yang bukan merupakan informasi fisik tentang negara).
Kemudian, metrik Bures (dari kolom kedua halaman 4) $$ B(\rho,\sigma) = \sqrt{2 - 2\sqrt{F(\rho,\sigma)}} $$ yang untuk keadaan murni disederhanakan $$\begin{aligned} B(\lvert \psi\rangle\! \langle \psi\rvert,\lvert \phi\rangle\! \langle \phi\rvert) &= \sqrt{2 - 2\sqrt{F(\lvert \psi\rangle\! \langle \psi\rvert,\lvert \phi\rangle\! \langle \phi\rvert)}} \\&= \sqrt{2 - 2\bigl\lvert \langle\psi\vert \phi\rangle \bigr\rvert} \\&= \sqrt{2 - 2 \max \langle\psi'\vert \phi'\rangle},\end{aligned} $$ dimana maksimum diambil alih vektor satuan $\lvert \psi'\rangle \propto \lvert \psi\rangle$ dan $\lvert \phi'\rangle \propto \lvert \phi\rangle$.
Anda bertanya (bukan tidak masuk akal) mengapa, untuk keadaan murni, Anda mengambil nilai absolut $\lvert \langle \psi \vert \phi \rangle \rvert$, bukan bagian yang sebenarnya $\mathrm{Re}\,\langle \psi \vert \phi \rangle$ seperti yang Anda lakukan jika Anda berhadapan langsung dengan hasil kali dalam vektor $\lvert \psi \rangle$ dan $\lvert \phi \rangle$. Jawabannya adalah, karena kita tertarik pada keadaan dan tidak benar-benar pada vektor tertentu yang mewakili keadaan tersebut, bekerja secara langsung dengan vektor keadaan tidak akan selalu memberikan jawaban yang masuk akal. Untuk sebuah negara bagian$\lvert \phi' \rangle \propto \lvert \phi \rangle$, nilai $\mathrm{Re}\,\langle \psi \vert \phi \rangle$ dan $\mathrm{Re}\,\langle \psi \vert \phi' \rangle$ biasanya tidak akan sama - tetapi apakah kita menggunakan $\lvert \phi' \rangle$ atau $\lvert \phi \rangle$untuk mewakili negara harus menjadi pilihan yang murni sewenang-wenang tanpa dampak baik pada fisika atau analisis fisika kita. Setiap pilihan rumus harus stabil di bawah pilihan sewenang-wenang seperti itu, dan selanjutnya (untuk metrik) harus menghasilkan nilai$0$ jika kita mempertimbangkan cara yang berbeda $\lvert \phi' \rangle$ dan $\lvert \phi \rangle$ untuk mewakili negara yang sama.
Ingatlah bahwa, pada akhirnya, komentar mereka tentang penyederhanaan ke metrik Euclidean kemungkinan besar merupakan upaya cepat untuk memberikan intuisi, daripada upaya serius untuk memberikan pernyataan formal. Namun, ada perasaan di mana mengambil nilai absolut (atau jika Anda lebih suka, produk dalam maksimum di antara keadaan ekuivalen hingga fase global) adalah pendekatan yang tepat untuk mempertimbangkan koneksi ke "jarak Euclidean" antara "keadaan", dan Saya berharap ini yang mereka pikirkan.