Apa perbedaan antara bias dalam prediksi dan estimasi parameter?
Saya mencoba memahami perbedaan antara bias dalam prediksi dan estimasi parameter. Contoh ini dalam Gelman, Bayesian Data Analysis , edisi ke-2. 2004 hlm 255-256 sangat membingungkan saya.

Mengapa Anda mendapatkan perkiraannya $\hat{y} = 160 + 0.25(\theta - 160)$ diberikan tetap $\theta$ dan $\hat{\theta} = 160 + 2(y - 160)$ di bawah pengambilan sampel berulang $y$ bersyarat $\theta$? Saya tidak yakin dari mana persamaan ini berasal.
Apakah masalah di sini berasal dari fakta bahwa distribusinya bivariat (normal) daripada $y$ memiliki distribusi berdasarkan masing-masing $\theta$?
Jawaban
Bersyarat pada $\theta$, distribusi $y$ normal dengan rata-rata $160 + 0.5 (\theta - 160)$. Untuk setiap realisasi$y'$ dari distribusi bersyarat ini, rata-rata posterior $\theta$ aku s $$ \hat\theta(y') = 160 + 0.5 (y' - 160). $$ Jadi nilai yang diharapkan dari $\hat\theta(y')$ bersyarat $\theta$ aku s $$ 160 + 0.5 [160 + 0.5 (\theta - 160) - 160] = 160 + 0.25 (\theta - 160). $$
Distribusi bivariat dimasukkan ke dalam contoh sehingga orang dapat berbicara tentang "... di bawah pengambilan sampel berulang $y$ bersyarat $θ$... ", yaitu dari distribusi bersyarat $y$ di $\theta$.
Bagaimanapun, tampaknya sangat Bayesian, dan agak aneh dari perspektif kaum frekuentis, untuk berbicara tentang "... di bawah pengambilan sampel yang berulang-ulang dari $y$ bersyarat $θ$... ", di mana $\theta$ adalah variabel yang coba diprediksi.
(Untuk frequentist, prediksi tidak bias berarti mean dari nilai prediksi $\hat{\theta}$ sama dengan rata-rata variabel $\theta$ tergantung pada prediktor, $E[\theta|y]$.)