Apa saja contoh paling awal dari kelanjutan analitik?
Aku bertanya-tanya bagaimana Riemann tahu itu $\zeta(z)$dapat diperluas ke domain yang lebih besar. Secara khusus, siapa orang pertama yang secara eksplisit memperluas domain dari fungsi bernilai kompleks dan apa fungsinya?
Jawaban
(Diperluas 1/26/21
Pertama izinkan saya menunjukkan kepada penutur bahasa Inggris non-pribumi bahwa penggunaan artikel 'a' dalam frasa 'fungsi bernilai kompleks' berarti bahwa pertanyaannya tidak semata-mata mengacu pada Riemann atau fungsi zeta lainnya. Ini mencakup fungsi apa pun yang domainnya merupakan kumpulan real, jadi saya menafsirkan pertanyaan sebagai "Siapa yang pertama kali menerbitkan perluasan domain dari suatu fungsi penting dari beberapa kumpulan real ke beberapa domain berkelanjutan kompleks, dan apa fungsi itu? " Bagi saya, arti sebenarnya dari istilah kelanjutan analitik dan apakah itu unik atau tidak adalah pertanyaan yang berbeda.
Kalimat pertama dan beberapa komentar fokus pada fungsi Riemann zeta. Riemann tidak berdiri sendiri dan minatnya jauh lebih luas daripada yang mungkin disiratkan oleh fokus obsesif saat ini pada RH. Minatnya mencakup hampir semua analisis kompleks, jadi wajar baginya untuk mempertimbangkan perluasan fungsi nyata ke fungsi kompleks.
Sulit dipercaya (mirip dengan beberapa jenis bias regional) bahwa tidak ada ahli matematika sebelum Euler, yang terbangun pada suatu pagi dan berpikir, "Bagaimana jika saya memodifikasi rumus saya yang sebenarnya untuk memasukkan akar kuadrat gila dari -1?" Roger Cotes dipersiapkan untuk melakukannya secara bermakna dengan minatnya pada astronomi dan mekanika angkasa; keakraban dengan karya rekannya Newton pada repetisi seri fungsi trigonometri, inversnya, kalkulus, dan mekanika Newton; penggunaan tabel logaritmik yang diperkenalkan pada awal tahun 1600-an oleh Napier untuk menangani perhitungan dengan jumlah besar yang ditemukan dalam survei bumi dan langit; dan mengerjakan interpolasi (Cotes 'dan Newton's).
Izinkan saya menekankan lagi bahwa Cotes akrab dengan inversi komposisi Newton dari deret pangkat (satu rumus mencakup versi asosiasi dari rumus inversi Lagrange untuk deret formal, lihat Ferraro di bawah), termasuk fungsi eksponensial, dan, seperti dicatat oleh Griffiths ' komentar ke posting " Pembuatan logaritma " oleh Freiberger: Tanpa tabel logaritma ini tidak akan ada teori dari Nicholas Mercator tentang daerah di bawah hiperbola simetris yang menyamai log jarak sepanjang sumbu x, atau pembalikan Isaac Newton dari rumus hiperbola untuk mencapai deret tak hingga untuk antilogaritma $e^x$. (Peta Mercator, mulai melihat titik-titik?) Faktanya, Ferraro membahas pada halaman 74 dan 75 dari "Kebangkitan dan Perkembangan Teori Seri hingga Awal 1820-an" bagaimana Newton membalikkan deret pangkat untuk logaritma$-\ln(1-x)$ untuk mendapatkan deret kekuatan antilogaritma $1- e^{-x}$. (Newton dengan penguasaan geometri dan analisisnya yang luar biasa pasti telah mencatat hubungan teorema fungsi terbalik sederhana di sini antara turunan dari dua deret juga.)
Akibatnya, tampak wajar bahwa pada kelahiran kalkulus dan asosiasinya dengan deret pangkat dan komposisi invers, Cotes menulis pada 1714, ketika Euler berusia tujuh tahun,
$$ ix = \ln[ \;\cos(x) + i \sin(x) \;]$$
versi baru dari formula hebat Euler tahun 1748 (lih. Wikipedia )
$$ e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta).$$
Pemeriksaan yang jelas dengan turunan (atau fluksinya) memverifikasi rumus tanpa penggunaan eksponensial secara eksplisit
$$ \frac{d}{dx} (ix +constant) = i = \frac{d}{dx} \; \ln[ \;\cos(x) + i \sin(x) \;]= \frac{-\sin(x) + i \cos(x)}{\cos(x) + i \sin(x)},$$
yang saya yakin adalah SOP untuk Newton dan Cotes - penerapan aturan rantai, alias fungsi teorema terbalik dalam hal ini, $dx = df(f^{-1}(x)) = f'(f^{-1}(x)) \; (f^{-1})'(x) \; dx$, yang memang membuat rumusnya jelas.
Dalam "Sejarah konsep eksponensial dan logaritmik," Cajori menjelaskan bagaimana John Bernoulli mempertimbangkan solusi persamaan diferensial yang diubah dari real ke imajiner pada tahun 1702 dan memberikan turunan Cotes dari rumusnya, yang diterbitkan Cotes pada tahun 1714 dan 1722. Cajori juga mengklaim bahwa kemudian Euler tidak malu menggunakan angka imajiner.
Rumus Euler seperti yang tertulis hari ini harus menunggu perkembangan oleh Euler dan rekan-rekannya dari perwakilan simbolis fungsi eksponensial $\exp(z) = e^z$ dengan $e$menjadi konstanta Euler, terkadang disebut sebagai konstanta Napier karena muncul di tabel log Napier. Ini setelah banyak kalkulus yang mendasari log telah dijelaskan oleh Huygens dan lainnya. Fungsi eksponensial kadang-kadang bahkan disebut sebagai 'antilogaritma', yang mencerminkan prioritas log, seperti yang dicatat di posting log.
Rumus logaritma Cote adalah perpanjangan dari real positif ke bidang bilangan kompleks dari argumen logaritma dengan cara yang agak lebih sulit daripada hanya mengganti $n$ di rep seri $\zeta(n)$ dengan bilangan real di garis nyata dan kemudian ke bilangan lain di bidang kompleks.
Menurut artikel Wikipedia tentang Cotes, ia menerbitkan teorema penting tentang akar persatuan (dan memberikan nilai satu radian untuk pertama kalinya) pada tahun 1722 dalam "Theoremata tum logometrica tum triogonometrica datarum fluxionum fluentes exhibitionentia, per methodum mensurarum ulterius extensam "(Teorema, beberapa logoritmik, beberapa trigonometri, yang menghasilkan fluent flux yang diberikan dengan metode pengukuran yang dikembangkan lebih lanjut). Dia memahami trigonometri dengan cukup baik, dan dari perspektif ini, rumus Cotes dan Euler dapat dianggap sebagai kelanjutan dari solusi dari$|x| = 1$ke dalam bidang kompleks. Solusi menentukan fungsi yang sangat sederhana dengan domain 1 dan -1 dan rentang 1, yang kemudian secara analitis dilanjutkan sebagai lingkaran jari-jari 1 dalam domain kompleks - jenis interpolasi (arahkan kursor ke tautan interpolasi di Wiki di Roger Cotes ) memenuhi persamaan fungsional sederhana$|f(x)|=1$. (Contoh lain dari jenis interpolasi / kelanjutan analitik dari fungsi dengan domain integer diskrit ke domain kompleks kontinu (terkait dengan interpolasi Newton dan sinc / cardinal series) diberikan dalam MO-Q dan MSE-Q ini .)
Dari perspektif yang lebih luas, rumus log Cotes adalah contoh jelas dari kelanjutan analitik log sebagai pemetaan dari bilangan real ke nyata ke pemetaan kompleks ke kompleks. Cotes, tentu saja, menyadari bahwa (memang digunakan, dan akan dianggap biasa bahwa siapa pun yang akrab dengan log juga tahu), karena$u,v > 0$,
$$\ln(u)+\ln(v) = \ln(uv),$$
jadi dia menuliskan bagian tersulit dari kelanjutan analitik dari log dari real positif ke kompleks (meskipun tidak secara eksplisit memperhitungkan multiplisitas)
$$\ln(r) + ix = \ln[\; r\; (\;\cos(x) + i \; \sin(x)\;) \;].$$
Ref di Wikipedia: John Napier , The History of Logaritma , Logaritma , Roger Cotes , identitas Euler , Formula Euler .
Selain penjumlahan Euler dengan argumen kompleks, Euler adalah orang pertama yang memperluas faktorial ke fungsi gamma untuk argumen kompleks guna mengembangkan kalkulus pecahan dengan perwakilan integral Mellin-Laplace hibridnya untuk fungsi gamma (lihat " Warisan Euler untuk fisika modern "oleh Dattoli dan Del Franco dan MSE-Q yang disebutkan di atas). Integral Euler untuk fungsi beta memungkinkan hal yang sama untuk koefisien binomial umum, yang telah dilakukan Newton (sekali lagi, rekan Cotes) untuk perluasan ke real koefisien binomial integer. Sayangnya, Euler tidak sepenuhnya memahami perluasan ke bilangan kompleks (Argand dan Wessel datang kemudian) jika tidak, dia akan meraup Cauchy, Liouville, dan Riemann pada kalkulus analisis kompleks.
Untuk prasejarah fungsi Riemann zeta, lihat " Aspek Teori Fungsi-Zeta dalam Karya Matematika Adolf Hurwitz " oleh Oswald dan Steuding. Para penulis tidak mengatakan apakah 's` itu nyata atau kompleks dalam diskusi mereka tentang prasejarah zeta. Itu wajar bagi Euler dan yang lainnya sebelum Riemann mempertimbangkan$s$kompleks. Euler memiliki asosiasi dengan kekuatan pi bahkan untuk argumen bilangan bulat dari zeta yang akan menyarankan koneksi ke kompleks melalui rumus luar biasa dan rumus refleksi untuk fungsi gamma, tapi kemudian dia tidak memiliki banyak hal untuk dikumpulkan dari perspektif ini tanpa Riemann. Mellin mengubah rep. di mana Riemann adalah orang pertama yang benar-benar menemukan properti baru zeta, untuk menerapkan rumus refleksi Euler untuk memberikan kontur Hankel lanjutan dari zeta dari bidang setengah kanan ke bidang kompleks penuh, dan untuk mengembangkan algoritme cerdas untuk menentukan non nol -trivial, di antara perkembangan lainnya.
Seekor ikan haring merah tampaknya merupakan upaya picik untuk memaksakan dikotomi buatan antara interpolasi dan kelanjutan analitik. Saya menggunakan minat dan keterampilan Cotes (dan Newton) pada interpolasi di alam nyata (pasti terkait dengan perkiraan orbit langit) untuk menunjukkan bahwa ia cenderung melakukan kelanjutan analitik. Selain itu, tidak ada dikotomi. Dalam beberapa pertanyaan MO dan MSE, saya menunjukkan bagaimana interpolasi terkait dengan kelanjutan analitik faktorial ke fungsi gamma, bilangan Bernoulli ke Riemann zeta, polinomial Bernoulli ke Hurwitz zeta, dan kalkulus klasik pangkat integer dari turunan pilih nilai non-integer yang kompleks, di antara interpolasi / AC lainnya (misalnya, mulai dari MO-Q ini atau MO-Q ini ). Ini dapat dikaitkan dengan fungsi sinc / interpolasi deret kardinal, interpolasi ekspansi binomial, dan / atau interpolasi Newton dan mungkin lainnya (misalnya, MO-Q ini ). Beberapa asosiasi yang lebih canggih terkait dengan teorema Mahler dan ref dalam jawaban MO-Q ini . Salah satu aspek dari hadiah Riemann adalah wawasannya tentang bagaimana hal ini terkait dengan transformasi Mellin.
(Untuk bias aksesibilitas, lihat Khaneman dan Tversky.)