Apa sebenarnya kategori tak terhingga itu?
Saya tertarik pada informasi apa yang dikodekan oleh kategori tak terbatas. Misalnya, pertimbangkan kategori ruang tanpa batas. Saya suka menganggap ini sebagai kategori homotopi ruang yang dilengkapi dengan beberapa struktur tambahan, yang berasal dari model himpunan sederhana, yang memungkinkan kita menghitung batas homotopi dan sebagainya. Pertanyaan saya (agak kabur) adalah:
- Seberapa unik struktur ini? Dengan kata lain, jika diberi kategori homotopi, apakah ada kategori tak terhingga terkait kanonik?
- Terkait, apakah kategori infinity menyandikan informasi yang non-homotopical (maksud saya informasi yang tidak dapat diperoleh dari kategori homotopi) di alam? Jika ya, apa?
Jawaban
Saya pikir itu berguna untuk mempertimbangkan analog dimensi yang jauh lebih rendah dari pertanyaan Anda, yang (setidaknya bagi saya) jauh lebih mudah untuk bernalar secara intuitif, tetapi masih menyampaikan beberapa pesan.
Mari bandingkan $0$-categories (yaitu, set) dan $1$-kategori (yaitu, kategori) berdasarkan apa yang dapat mereka encode.
- Sebuah $0$-kategori hanyalah kelas objek. Dua objek a$(0,1)$-kategori sama persis jika sama (ini adalah$0$-potongan kategoris ekuivalensi), dan tidak ada lagi yang benar-benar dapat dikatakan tentang objek.
- Sebuah $1$-kategori adalah $0$-kategori (lemah) diperkaya $(0,0)$-categories (yaitu, set), yang memungkinkan kita untuk lebih peka tentang bagaimana satu objek berhubungan dengan yang lain; Secara khusus, morfisme memungkinkan kita untuk mendeskripsikan struktur objek, dan$1$-categorical language membahas properti objek terkait strukturnya. Lebih tepatnya, dua objek a$1$-kategori sama persis jika mereka isomorfik (yaitu, mereka memiliki struktur yang sama), dan$1$konstruksi -kategorikal (seperti co / batas) didefinisikan hingga isomorfisme.
Diberikan a $1$-kategori $\def\cC{\mathcal C}$ $\cC$, kita bisa mendefinisikan homototinya$0$-kategori $\def\Ho{\operatorname{Ho}}$ $\Ho\cC$ sebagai $0$-kategori yang objeknya kelas isomorfisme objek $\cC$. Ini berfungsi sebagai presentasi yang efektif dari$\cC$ dengan $0$-kategori dalam arti objek $\cC$ isomorfik persis jika objek yang sesuai di $\Ho\cC$ adalah sama.
Namun, kita juga dapat melihat bahwa ini sulit untuk merekayasa balik, bahkan secara kanonik, karena beberapa tidak setara $1$-kategori dapat memiliki homotopi yang sama $0$-kategori. Cara tercepat untuk melihatnya adalah dengan mencatat bahwa a$0$-kategori $X$ dapat dianggap sebagai $1$-kategori dengan hanya morfisme identitas, dan dalam kasus ini $\Ho X=X$; secara khusus, jika ada$1$-kategori $\cC$, homotopi nya $0$-kategori $\Ho\cC$ juga merupakan presentasi dari $0$-kategori $X := \Ho\cC$ dipandang sebagai $1$-kategori . Yang mana dari$\cC$ dan $X$ akan menjadi pilihan yang lebih cocok dari "kanonik $1$-kategori "terkait dengan $\Ho\cC$?
Selain itu, seperti yang disebutkan di komentar, hampir tidak mungkin untuk tampil $1$konstruksi -kategorikal dalam homotopi $0$-kategori: satu-satunya diagram $F:J\to\Ho\cC$yang memiliki batasan adalah diagram konstan. Faktanya, bahkan jika kita menghitung batas dari sebuah fungsi$F:J\to\cC$ di mana semua objek dalam diagram isomorfik satu sama lain (yaitu, peta yang diinduksi $F:\operatorname{Ob}J\to\Ho\cC$ adalah peta konstan) sehingga batas dalam homotopi $0$-kategori ada, batas dalam $\Ho\cC$ tidak perlu dikaitkan sama sekali dengan batas dalam $\cC$. Misalnya, produk Cartesian$X\times X$ umumnya tidak isomorfik $X$, tetapi batasnya di peta yang sesuai $\{\bullet\,\,\,\bullet\}\to\Ho\cC$ (yang merupakan peta konstan) akan selalu menjadi kelas isomorfisme $X$.
Ceritanya mirip $(\infty,1)$-kategori. Karena ini dapat dianggap sebagai kategori yang diperkaya secara lemah dalam ruang (atau$\infty$-groupoids), kita bisa menjadi lebih peka tentang bagaimana kita membandingkan objek. Sama seperti kategori yang memperhatikan struktur objek,$(\infty,1)$-kategori berkaitan dengan struktur koheren homotopi objek. Contohnya:
- pertimbangkan ruang topologi $\Bbb R$, $(0,1)$, dan $\{0\}$. Jika kita melihatnya$0$-kategoris (dalam $0$-kategori $\mathbf{Top}_0$ruang topologi), maka semuanya sama sekali berbeda, karena terdiri dari elemen yang berbeda. Jika kita melihatnya$1$-kategoris (dalam $1$-kategori $\mathbf{Top}$ ruang topologi dan peta kontinu), lalu $\Bbb R$ dan $(0,1)$ sama karena memiliki struktur topologi yang sama, tetapi berbeda dari $\{0\}$karena mereka tidak bisa dibuat bijak. Akhirnya, jika kita melihatnya$(\infty,1)$-kategoris, maka ketiga objek itu sama, karena dapat dikontrak ke suatu titik.
- demikian pula, pertimbangkan kategorinya $\mathbf{FinSet}$ dari himpunan hingga dan subkategori lengkapnya $\mathbf{FinOrd}$pada ordinal terbatas. Mereka adalah kategori non-isomorfik karena yang pertama memiliki kelas objek yang tepat sedangkan yang terakhir memiliki himpunan dan dengan demikian tidak dapat dimasukkan dalam bijeksi; namun, mereka setara sebagai kategori karena kita dapat mengontrak objek dari$\mathbf{FinSet}$ bersama-sama oleh bijections bersama (berdasarkan kardinalitas mereka) dan temukan itu $\mathbf{FinOrd}$adalah kerangka dari$\mathbf{FinSet}$
Kita pasti bisa mengasosiasikan dengan $(\infty,1)$-kategori $\def\sC{\mathscr C}$ $\sC$ kategori homotopi $\Ho\sC$, di mana objek $\Ho\sC$ adalah isomorfik tepatnya jika ekuivalen dalam $\sC$, tetapi kami melihat masalah yang sama saat mencoba merekayasa balik ini. Sama seperti sebelumnya, kategori$\cC$ dapat dianggap sebagai file $(\infty,1)$-kategori di mana semua sel yang lebih tinggi adalah sepele, dan dalam kasus ini $\Ho\cC=\cC$, jadi diberi $(\infty,1)$-kategori $\sC$, kategori homotopi juga merupakan presentasi dari kategori tersebut $\cC := \Ho\sC$ dipandang sebagai $(\infty,1)$-kategori .
Selain itu, komputasi membatasi $\Ho\sC$ tidak akan mengatakan apa pun tentang cara menghitung batas $\sC$. Misalnya, pertimbangkan$(2,1)$-kategori $\mathbf{Cat}$ dari kategori (kecil), functor, dan isomorfisme alami, dipandang sebagai $(\infty,1)$-kategori. Kemudian, kategori homototinya$\Ho\mathbf{Cat}$sebenarnya gagal memiliki kemunduran, yang ditunjukkan di sini . Perbedaan antara batas homotopi secara umum dan batas dalam kategori homotopi yang sesuai juga ditekankan di sini , di mana mereka menekankan bahwa meskipun$\Ho\sC$ ada, itu tidak perlu sesuai dengan batas dalam $\sC$.
Dalam kasus tertentu, Anda dapat menyajikan file $(\infty,1)$-kategori dengan $1$-kategori dilengkapi dengan struktur ekstra sehingga Anda dapat bekerja dengannya $1$-bahasa kategoris untuk membahas struktur $(\infty,1)$-kategori yang ditampilkannya, dan Anda bahkan mungkin dapat memulihkan $(\infty,1)$-kategori secara kanonik. Misalnya, jika$\sC$adalah penampilan lokal$(\infty,1)$-kategori , maka Anda dapat menyajikannya dengan kategori model sederhana kombinatorial$\cC$. Kemudian, batasi$\sC$ sesuai dengan batas homotopi di $\cC$, dan mereka bahkan memiliki kategori homotopi yang sama. Apalagi Anda bisa sembuh$\sC$dengan (misalnya) mengambil saraf koheren homotopi dari subkategori yang diperkaya secara sederhana$\cC$ pada objek fibrant cofibrant, jadi dalam pengertian ini ada cara kanonik untuk mundur juga.