Apa yang dimaksud dengan model tersebut dapat mencerminkan "senyum volatilitas"
Saya tahu bahwa volatilitas tersirat adalah nilai di mana model Black Scholes mengembalikan harga opsi yang benar. Saya juga tahu bahwa jika kita memplot volatilitas pada grafik harga kesepakatan, kita akan melihat "senyum". Artinya, model Black Scholes tidak sesuai untuk penilaian karena mengasumsikan volatilitas yang konstan. Tapi apa artinya model lain (misalnya model Kou) dapat mencerminkan senyum volatilitas? Model ini juga mengasumsikan volatilitas konstan. Apakah ini berarti bahwa dalam model Kou grafik volatilitas tersirat lebih datar, yaitu bahwa volatilitas lebih konstan sehubungan dengan strike dan maturity?
Jawaban
Model yang mencerminkan senyum volatilitas adalah model dengan dinamika yang memperkirakan harga yang menghasilkan senyum volatilitas yang tersirat. Namun, pertanyaan Anda membuat saya curiga Anda tidak jelas pada beberapa bagian ini, jadi mari kita bahas ini lebih detail.
Volatilitas Tersirat $\implies$ Harga Benar?
Anda menyebutkan bahwa volatilitas tersirat dalam model Black-Scholes memberikan harga yang "benar". Itu agak berani karena kami tidak tahu harga yang benar. Kami mungkin berasumsi bahwa harga yang benar hanya ditentukan oleh harga pasar atau model tertentu, jika Anda yakin akan kemungkinan terjadinya inefisiensi. (Perhatikan bahwa dengan argumen Grossman-Stiglitz, Anda harus percaya pada ketidakefisienan untuk periode waktu yang singkat).
Volatilitas tersirat hanyalah volatilitas yang menyamakan harga pasar dan harga Black-Scholes ( yaitu tersirat dalam model Black-Scholes).
Senyum atau Seringai?
Anda juga menyebutkan senyum volatilitas meskipun bentuk itu tidak universal. Port-1987 di sebagian besar pasar ekuitas, "senyuman" lebih merupakan seringai : asimetris dengan volatilitas yang jauh lebih tinggi untuk harga kesepakatan yang lebih rendah. Untuk komoditas, seringai jauh lebih terasa dengan volatilitas tersirat yang jauh lebih tinggi seiring dengan kenaikan harga kesepakatan.
Apakah Black-Scholes Tidak Pantas?
Apakah mengasumsikan volatilitas konstan berarti model Black-Scholes tidak sesuai untuk penilaian? Tidak. Penetapan harga Black-Scholes yang secara sistematis menyimpang dari harga pasar berarti modelnya salah, tetapi "semua model salah" seperti yang ditunjukkan oleh George Box. Namun, model Black-Scholes masih berguna - dan karenanya sesuai.
Mengapa Black-Scholes Menyimpang dari Harga Pasar
Model Black-Scholes dan Merton mengasumsikan ekuilibrium parsial (tidak ada interaksi antara pembeli dan penjual dalam menetapkan harga) dan batasan untuk pengembalian log yang menyatu dengan normalitas. Itu membuat matematika lebih mudah - meskipun tidak sesuai dengan apa yang kita amati.
Ada tiga kekuatan yang tidak setuju dengan asumsi Black-Scholes:
- Kami tahu bahwa volatilitas tidak konstan sepanjang waktu. Ini biasanya bukan faktor utama, tetapi ini membantu menjelaskan mengapa kita terkadang melihat permukaan volatilitas .
- Lebih penting lagi: kami yakin pengembalian aset menunjukkan kelemahan ; kemungkinan log-return yang tidak biasa lebih tinggi dari yang disarankan oleh normalitas. Itu berarti opsi out-of-the-money lebih mungkin kedaluwarsa dalam uang daripada yang disarankan Black-Scholes - dan dengan demikian bernilai lebih dari harga Black-Scholes. Ini benar bahkan jika kita menebak volatilitas underlier dengan benar. Pasar memahami hal ini sehingga harga pasar menjadi lebih tinggi. Itu menyebabkan volatilitas tersirat menjadi lebih tinggi untuk harga kesepakatan yang jauh dari harga yang lebih rendah saat ini.
- Juga penting: investor tidak menyukai kerugian lebih dari mereka menyukai keuntungan. Hal ini menyebabkan investor bersedia membayar lebih untuk perlindungan terhadap sisi negatif daripada yang mereka bayarkan untuk keuntungan: opsi jual lebih mahal daripada yang disarankan oleh fat tail.
Gabungkan ini bersama-sama dan volatilitas tersirat menjadi lebih tinggi dari harga yang lebih rendah saat ini karena ekor gemuk dan preferensi investor untuk menghindari kerugian. Jika kita menyimpulkan volatilitas tersirat ini dari put dan call dan kemudian memplotnya dengan strike price dari put dan call tersebut, kita mendapatkan kurva yang, memang, lebih tinggi saat kita melangkah lebih jauh (ATM strike price, yaitu harga underlier saat ini) .
Apa yang Membuat Black-Scholes Pantas?
Apa yang membuat model Black-Scholes sesuai adalah perilaku reguler dari kurva volatilitas tersebut. Model yang baik dapat disesuaikan untuk membuatnya lebih baik - dan model Black-Scholes memungkinkan kami melakukan hal itu. Kita dapat menggunakan volatilitas tersirat yang lebih tinggi untuk strike price yang jauh dari ATM untuk mengoreksi kelemahan dan investor yang tidak menyukai kerugian lebih dari yang mereka sukai.
Bagaimana Model Dapat Merefleksikan Kurva Volatilitas?
Setelah Anda memahami semua itu, mudah untuk melihat bagaimana suatu model dapat mencerminkan kurva volatilitas dengan lebih baik: model dapat memungkinkan varian yang tidak konstan, ekor yang lebih gemuk, dan preferensi investor untuk mengurangi risiko penurunan.
Apakah model Kou mencerminkan kurva volatilitas? Itu mencerminkannya dengan lebih baik, karena menggabungkan lompatan (yang secara efektif menghasilkan ekor yang lebih gemuk). Model volatilitas Heston juga memiliki ekor yang lebih gemuk sehingga mencerminkan kurva volatilitas dengan lebih baik.
Bisakah seseorang melakukan lebih baik dari model ini? Ya: juga memasukkan investor, ketidaksukaan yang lebih besar terhadap pengembalian negatif adalah tindakan cerdas. Model Exponential-GARCH mengakomodasi ini, tetapi Anda perlu memodifikasi model Kou atau Heston untuk melakukan hal yang sama.