Apakah Aturan Rantai Berlaku untuk Derivatif Umum?
Untuk ruang vektor $\mathbb{R}^n$ kami memiliki turunan parsial, yang mematuhi aturan rantai, misalnya:
membiarkan $F:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$, $f:\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}$, asumsikan dasar standar untuk $\mathbb{R}^n$ adalah $x^i$ dan dasar standar untuk $\mathbb{R}^m$ adalah $y^j$Jadi untuk komposisi kita punya:
$$\left.\frac{\partial}{\partial x^{i}}\right|_{p}(f \circ F)=\frac{\partial f}{\partial y^{j}}(F(p)) \frac{\partial F^{j}}{\partial x^{i}}(p)$$
yang merupakan aturan rantai standar.
Sekarang pertimbangkan turunan kasus umum sebagai peta linier antara aljabar $v:A\to B$ dengan $v(fg) = fv(g)+gv(f)$.
Dalam hal ini apakah aturan rantai untuk komposisi $v(f\circ g)$masih tahan? Sepertinya tidak?
(kita tahu perbedaannya $dF_p:T_pM\to T_p N$ aturan rantai masih berlaku)
Jawaban
Dalam kasus lipatan halus, yang Anda sebut aturan rantai adalah manifestasi dari fungsi dari fungsi yang mengambil lipatan dengan titik yang ditandai $(M,p)$ ke ruang tangennya $T_pM$ dan mengambil peta halus dari objek tersebut $f:(M,p)\to (N,q)$ ke diferensial terkait $df_p:T_pM\to T_qN$. Fungtorialitas mengatakan bahwa suatu komposisi$$ (M,p)\xrightarrow{f} (N,q)\xrightarrow{g}(P,r)$$ ada hubungan $d(g\circ f)_p=dg_q\circ df_p$. Dalam bahasa yang tidak terlalu rumit, ini hanya mengatakan bahwa perbedaan komposisi adalah komposisi dari perbedaan tersebut. Secara konkret, diberikan$$ \Bbb{R}^n\xrightarrow{F} \Bbb{R}^m\xrightarrow{f} \Bbb{R}$$ seperti di atas, kita tahu bahwa perbedaannya masing-masing $$ \bigg[\frac{\partial F^i}{\partial x^j}\bigg]_p$$ dan $$ \bigg[\frac{\partial f}{\partial y^i}\bigg]_{F(p)}$$ dimana koordinat pada ruang pertama berada $x^1,\ldots, x^n$ dan koordinat di ruang kedua adalah $y^1,\ldots, y^m$ dan matriks pertama adalah $m\times n$, dan yang kedua adalah $1\times m$. Komposit diferensial adalah perkalian dari matriks-matriks ini, seperti yang Anda tulis$$ \bigg[ \sum_{i=1}^n\frac{\partial F^i}{\partial x^j}(p)\frac{\partial f}{\partial y^i}(F(p))\bigg]$$ dimana ini adalah $1\times n$ matriks.
Pertanyaan yang Anda ajukan berbeda. Katakan itu$A$ dan $B$ adalah $k-$aljabar untuk beberapa bidang $k$. Kemudian morfisme$v:A\to B$ yang mana $k-$linear dan Leibniz (mis $v(fg)=v(f)g+fv(g)$) adalah jenis operator diferensial. Namun, di sini tidak jelas apa yang Anda inginkan dari aturan rantai. Aturan rantai adalah apa yang terjadi saat kita menerapkan operator diferensial ke gabungan fungsi dalam pengaturan manifold kita. Pada kasus ini,$f\circ g$ bahkan tidak masuk akal secara apriori.
Saya membuat proposal berikut: Diberikan kategori ruang geometris $\mathscr{C}$, dan "fungsi" $F: \mathscr{C}\to \mathscr{A}$, menetapkan ke setiap ruang $X$ struktur aljabar $F(X)$, kami mengatakan itu $F$mematuhi aturan rantai jika$F$ adalah functorial dalam pengertian di atas: diberikan $$ X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{g}Z$$ kita punya $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$. Ini memang agak kabur, tapi ini menggambarkan apa yang kita "gunakan" untuk mendefinisikan aturan rantai.