Apakah Cauchy menyelesaikan ekstensi terbesar dengan cocompletion gratis yang sama?

Question

Judul EDIT telah diedit.

---

Membiarkan $C$ menjadi kategori, dan $$\hat{C} = [C^{op}, (Set)]$$jadilah pelengkapan gratis. Terlepas dari namanya, cocompletion gratis dari cocompletion gratis tidak setara dengan cocompletion gratis pada umumnya. Yaitu,$\hat{C} \not\simeq \hat{\hat{C}}$. Misalnya, ambil$C = \{*\}$. [1].

Ada pelengkapan kok yang lebih baik, yang disebut pelengkapan Cauchy $\bar{C}$. Jika$C$ kecil, maka kita punya $$ C \hookrightarrow \bar{C} \hookrightarrow \hat{C}.$$

Menurut teorema 1 dalam [2], itu lebih baik dalam arti $$\bar{C} \simeq \bar{\bar{C}},$$ begitu $\bar{C}$ sebenarnya adalah pelengkapan kok, dan juga itu $$\hat{C} \simeq \hat{\bar{C}},$$ begitu $\bar{C}$ menyediakan apa $C$kebutuhan tanpa mengubahnya terlalu banyak. Bagaimanapun, dalam banyak kasus lebih baik untuk melihat$C$ sebagai $\hat{C}$ [3].

Pertanyaan

Aku s $\bar{C}$ kategori terbesar di antara $C$ dan $\hat{C}$ yang cocompletion gratisnya $\hat{C}$? Lebih tepatnya, di antara semua kategori$D$ dengan $\hat{C} \simeq \hat{D}$ dan $$C \hookrightarrow D \hookrightarrow \hat{C},$$ aku s $\bar{C}$ yang universal?

Referensi

• [1] https://math.stackexchange.com/questions/3396276/presheaf-category-as-free-cocompletion

• [2] Penyelesaian Cauchy dalam teori kategori- [Francis Borceux dan Dominique Dejean]

• [3] https://mathoverflow.net/a/3185/124549

Answer 1

Jawabannya positif.

Saya menemukan akun yang diterbitkan dengan rincian menjadi bab 6 dan 7 dari Buku Pegangan Aljabar Kategoris 1 oleh Francis Borceux.

Berkat komentarnya, tautan berguna yang merangkum bagaimana kelanjutannya

• kesetaraan morita untuk kategori

• Kesetaraan Morita melalui ekstensi Kan

• Tulisan bagus Qiaochu Yuan