Apakah Dirac itu $\delta$-fungsi tentu simetris?
Dirac $\delta$-fungsi didefinisikan sebagai distribusi yang memenuhi batasan berikut:
$$ \delta (x-x') = 0 \quad\text{if}\quad x \neq x' \quad\quad\text{and}\quad\quad \delta (x-x') = \infty \quad\text{if}\quad x = x'$$
$$\int_{-\infty} ^{+\infty} \delta(x-x')\, dx = 1 $$
Beberapa penulis juga menempatkan batasan lain yaitu Dirac $\delta$-fungsi simetris, yaitu $\delta(x)=\delta(-x)$
Sekarang pertanyaan saya adalah, apakah kita perlu memaksakan secara terpisah kendala Dirac itu $\delta$-fungsi simetris atau secara otomatis berasal dari kendala lain?
Nah, untuk mengilustrasikan kueri saya dengan jelas, saya akan mendefinisikan fungsi seperti itu: $$ ξ(t)=\lim_{\Delta\rightarrow0^+} \frac{\frac{1}{3}{\rm rect}\left(\frac{2x}{\Delta}+\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{3}{\rm rect}\left(\frac{2x}{\Delta}-\frac{1}{2}\right)}{\Delta} $$ dimana ${\rm rect}(x)$ didefinisikan sebagai: $$ {\rm rect}(x)= 1 \quad\text{if}\quad |x| < \frac{1}{2} \quad\quad\text{and}\quad\quad {\rm rect}(x)= 0 \quad\text{elsewhere}. $$ $ξ(t)$ tidak simetris, tetapi memenuhi kondisi berikut, $$ ξ(t)= 0 \quad\text{if}\quad t \neq 0 \quad\quad\text{and}\quad\quad ξ(t)= \infty \quad\text{if}\quad t = 0$$ $$\int_{-\infty} ^{+\infty} ξ(t)\,dt = 1 $$
Sekarang, pertanyaan saya adalah, dapatkah kita mendefinisikan $ξ(t)$ sebagai fungsi Dirac Delta atau tidak?
Jawaban
"Fungsi delta" bukanlah fungsi, tetapi distribusi. Distribusi adalah resep tentang cara menetapkan angka ke fungsi pengujian. Distribusi ini mungkin tetapi tidak harus memiliki nilai fungsi dalam arti biasa. Dalam kasus distribusi delta, itu tidak memiliki nilai fungsi.
Jadi pernyataan seperti
$$ \delta(x) = \delta(-x) \quad\text{for all }x \tag{*} $$ yang berarti "nilai $\delta$ di $x$ sama dengan nilai $\delta$ di $-x$"tidak ada artinya / tidak valid.
Tapi pernyataan $$ \int dx~ \delta(x) f(x) = \int dx~\delta(-x) f(x) \quad \text{for all functions }f \tag{**} $$ mungkin valid.
Anda dapat dengan mudah memverifikasi bahwa fungsi $\Delta$ dan $x$ (ekspresi setelah tanda batas dalam definisi $\xi$) tidak memenuhi salah satu dari dua pernyataan ini (dalam peran $\delta$). Jadi tidak "simetris".
Distribusi delta secara hipotetis hanya dapat memenuhi pernyataan kedua. Apakah itu melakukannya?
Kita bisa mengevaluasi kedua sisi persamaan. Ruas kiri memiliki nilai, menurut definisi$\delta(x)$, $f(0)$.
Kita dapat mengubah integral sisi kanan menjadi $$ \int dx~\delta(-x) f(x) = \int dy~\delta(y) f(-y) $$ Menurut definisi $\delta(y)$, nilai integral ini adalah $f(0)$, sama seperti sisi kiri. Jadi (**) puas.
Persamaannya $\delta(x) = \delta(-x)$ dengan demikian merupakan konsekuensi dari definisi $\delta(x)$, itu bukan asumsi independen.
Fungsi Anda $\xi$ mungkin benar-benar mematuhi pernyataan kedua juga (dan dengan demikian menjadi simetris dalam pengertian itu), meskipun $\Delta$ekspresi -dependen setelah tanda batas tidak. Ini serupa untuk perkiraan lain dari distribusi delta; perkiraan mungkin tidak memiliki properti$\delta$ (seperti simetri), tetapi batasnya tidak.
Simbol $$\delta(x\!-\!y)\tag{A}$$ dengan dua argumen $x,y\in\mathbb{R}$adalah notasi kernel informal untuk distribusi delta Dirac $$u~\in~ D^{\prime}(\mathbb{R}^2)\tag{B}$$ didefinisikan sebagai
$$u[f]~:=\int_{\mathbb{R}}\!\mathrm{d}z~f(z,z)\tag{C}$$
untuk fungsi pengujian $$f~\in~ D(\mathbb{R}^2).\tag{D}$$ Oleh karena itu delta Dirac yang didefinisikan di atas adalah simetris $$ \delta(x\!-\!y)~=~\delta(y\!-\!x), \tag{E}$$cf. Pertanyaan judul OP.
Fungsi delta adalah suatu distribusi yang didefinisikan pada sekumpulan fungsi. Matematikawan biasanya mengungkapkan ini dengan menggunakan notasi bra-ket, di mana fungsi delta adalah bra$<\delta|$ dan $$<\delta| f> = \int \delta(x) f(x) dx = f(0)$$
Jika Anda berbicara tentang himpunan fungsi berkelanjutan, saya yakin Anda tidak memerlukan persyaratan simetri. Tetapi biasanya tidak demikian. Dalam mekanika kuantum, kami menggunakan himpunan fungsi integral persegi; ini adalah persyaratan ringan, yang memungkinkan terjadinya diskontinuitas.
Sekarang, jika Anda mempertimbangkan fungsi yang dapat terputus-putus pada nol maka Anda perlu mendefinisikan secara eksplisit apa yang harus dilakukan, distribusi delta simetris harus
$$ <\delta | f > = \frac{f(0^+)+f(0^-)}2 $$
dan Anda dapat memiliki "fungsi delta" lain yang berbeda yang bekerja sama dalam fungsi kontinu tetapi bekerja secara berbeda dalam kasus diskontinuitas.
BONUS: dalam mekanika kuantum satu dimensi, Anda memiliki seluruh rangkaian "penghalang potensial seperti-delta" yang ditentukan oleh berbagai cara untuk menghubungkan $\Psi'(0^+),\Psi(0^+)$ untuk $\Psi'(0^-),\Psi(0^-)$. Nomenklatur adalah mimpi buruk di sini, karena kesalahan dalam buku teks. Setiap "delta" atau "penghalang yang didukung dalam satu titik" dapat dilihat sebagai aturan untuk menggabungkan interval$(-\infty, 0)$ dan $(0, \infty)$.