Apakah himpunan nilai eigen dari operator terbatas pada ruang Hilbert yang dapat dipisahkan dapat dihitung?

Question

Spektrum operator seringkali tidak dapat dihitung, tetapi perlu diketahui bahwa pertanyaan tersebut mengacu pada nilai eigen .

Ini terkenal dengan operator self-adjoint, tetapi saya tidak melihat bagaimana hasilnya melampaui kasus itu.

Pertanyaan yang sama juga masuk akal untuk ruang Banach yang dapat dipisahkan.

Answer 1

Pertanyaan yang sama ditanyakan dan dijawab di mathoverflow di sini . Operator gigi mundur$T : \ell^2(\mathbb{N}) \to \ell^2(\mathbb{N})$ didefinisikan oleh $$T(a_0,a_1,a_2,\ldots) = (a_1,a_2,a_3,\ldots)$$melakukan pekerjaan itu. Untuk setiap$\lambda \in \mathbb{C}$ dengan $|\lambda|<1$, urutan geometris $v = (1,\lambda,\lambda^2,\ldots)$ dapat diintegrasikan dan memenuhi $T v = \lambda v$.