Apakah jumlah untaian simpul itu invarian?
Pertanyaan: Apakah jumlah komponen dalam simpul bergantung pada penyematan planar tertentu?
Saya telah menyelidiki cara menghitung jumlah komponen ("untaian terpisah") dalam simpul Celtic berdasarkan struktur grafik planar yang mendasarinya. (Lihat hubungan antara simpul / mata rantai dan grafik planar di sini ).
Rupanya kalkulasi untuk grafik umum agak rumit; misalnya, referensi dalam pertanyaan ini menunjukkan bahwa untuk seragam$m\times n$ grid kotak, jumlah komponennya $\mathrm{lcd}(m,n)$.
Ini akan memuaskan saya untuk menemukan rumus untuk menghitung jumlah komponen ("untai"), atau hubungan antara jumlah untai dan berbagai properti grafik seperti derajat, spektrum, dll, bahkan jika properti tersebut sulit untuk dihitung .
Salah satu pendekatan yang saya ambil adalah dalam hal komponen yang terhubung: setiap untai terpisah mengikuti lintasan tertentu, dan komponen yang terhubung dari lintasan tersebut sama persis dengan untaiannya. Anda dapat menentukan lintasan sebagai pemetaan fungsi transisi (beberapa struktur tambahan plus) setiap tepi ke penerusnya; ini adalah permutasi pada tepi (terstruktur) yang siklusnya merupakan komponen.
Fungsi transisi dapat dikodekan sebagai grafiknya sendiri, diturunkan, diarahkan (mirip dengan peta yang dikodekan grafik ), yang komponennya yang terhubung adalah komponen dari simpul. Dari aljabar linier, kita tahu bahwa jumlah komponen yang terhubung dapat diperoleh kembali sebagai kelipatan nilai eigen nol dari matriks ketetanggaan Laplacian.
Namun, saya tahu bahwa grafiknya sama $G$dapat memiliki beberapa embeddings planar non-isomorfik (yaitu yang rangkapnya non-isomorfik). Sejauh ini menurut pengalaman saya, ini telah mengubah beberapa properti knotting (seperti jumlah lilitan di setiap komponen) tetapi bukan jumlah komponen:
Pertanyaan saya adalah ini:
Pertanyaan: Apakah jumlah komponen dalam simpul bergantung pada penyematan planar tertentu? Bagaimana kita membuktikannya?
Intuisi saya mengatakan bahwa jumlah komponen adalah invarian, tetapi saya belum dapat menghasilkan counterexample atau bukti menggunakan pendekatan saya di atas.
Dugaan: Jika $G$ adalah grafik, maka simpul yang sesuai memiliki $c$ komponen, dimana
$$T_G(-1,-1) = (-1)^{|E(G)|}\cdot (-2)^{c - 1}$$
dan $T_G$ adalah polinomial Tutte, dan $|E(G)|$adalah jumlah tepi pada grafik. (?)
Jawaban
Membiarkan $D$menjadi diagram tautan. Sebagai contoh,$D$bisa menjadi diagram simpul atau tautan Celtic yang digambarkan di posting Anda. Membiarkan$G$ menjadi grafik papan catur $D$. Grafik$G$ adalah grafik yang dijelaskan dalam poin peluru pertama Anda.
Jawaban: Jumlah komponen$D$ ditentukan oleh grafik abstrak $G$ dan tidak bergantung pada bagaimana $G$ tertanam di pesawat.
Sepengetahuan saya, ini pertama kali dibuktikan oleh Michel Las Vergnas pada tahun 1979. Ia menunjukkan bahwa jumlah komponen $D$ ditentukan oleh evaluasi polinomial Tutte $T_G(-1,-1)$. Karena polinomial Tutte tidak bergantung pada penyematan tertentu$G$, hasilnya mengikuti. Referensi untuk makalah ini adalah
- Las Vergnas, Michel. Pada partisi grafik Euler . Teori grafik dan kombinatorik (Proc. Conf., Universitas Terbuka, Milton Keynes, 1978), hal. 62-75, Res. Catatan dalam Matematika., 34, Pitman, Boston, Mass.-London, 1979.
Saya tidak dapat dengan mudah menemukan salinan dari kertas di atas, jadi inilah cara lain untuk mendapatkan solusinya, karena Dan Silver dan Susan Williams ( tautan arXiv ). Mereka mendefinisikan matriks$Q_2(G)$ yang entri berada di bidang dengan dua elemen $\mathbb{F}_2$sebagai berikut. Baik baris maupun kolom dari matriks diindeks oleh simpul$v_1,\dots,v_n$ dari $G$. Jika$i\neq j$, lalu $ij$ masuk dari $Q_2(G)$ adalah jumlah sisi antar simpul $v_i$ dan $v_j$ (diambil$\mod 2$). Itu$ii$ masuk dari $Q_2(G)$ adalah jumlah entri lain di baris tersebut $i$ (diambil lagi$\mod 2$). Sama halnya, kita bisa mengatakan$ii$ masuk $Q_2(G)$ adalah jumlah entri lainnya di kolom $i$.
Dalam Teorema 1.1 kertas terkait, mereka membuktikan bahwa jumlah komponen $D$ sama dengan nolitas $Q_2(G)$. Mereka mencatat di Catatan 1.2 bahwa ini menyiratkan jumlah komponen$D$ tidak tergantung pada embedding bidang $G$.
Sunting: Saya tidak memiliki akses ke makalah Las Vergnas, tetapi saya dapat memberikan penjelasan lain tentang hasilnya menggunakan polinomial Tutte dan polinomial Jones.
Membiarkan $L$ menjadi link bolak-balik, biarkan $D$ menjadi diagram bolak-balik dari tautan, dan biarkan $G$ menjadi grafik papan catur $D$. Kemudian polinomial Tutte$T_G(x,y)$ dari $G$ dan polinomial Jones $V_L(t)$ dari $L$ terkait sebagai berikut: $$V_L(t) = f_D(t) T_G(-t,-t^{-1})$$ untuk fungsinya $f_D(T)$ didefinisikan oleh $$f_D(t) = (-1)^{w(D)}t^{\frac{1}{4}(|E| - 2(|V|-1)+3w(D))}$$ dimana $w(D)$ adalah menggeliat $D$, $|E|$ adalah jumlah sisi dalam $G$, dan $|V|$ adalah jumlah simpul dari $D$. Perhatikan itu$|f_D(1)|=1$, dan dengan demikian $|V_L(1)| = |T_G(-1,-1)|$.
Polinomial Jones memenuhi hubungan skein $$(t^{\frac{1}{2}}-t^{-\frac{1}{2}})V_{L_0}(t) = t^{-1}V_{L_+}(t) - tV_{L_-}(t)$$ dimana $L_+,L_-,$ dan $L_0$ adalah seperti di bawah ini.
Pengaturan $t=1$ dalam hasil hubungan skein di atas $V_{L_+}(1)=V_{L_-}(1)$. Dengan kata lain polinomial Jones dievaluasi pada$t=1$ tidak berubah di bawah perubahan persimpangan, dan dengan demikian $V_L(1)=V_{\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc}(1)$ dimana $\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc$ adalah tautan sepele dengan jumlah komponen yang sama seperti $L$. Polinomial Jones dari$\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc$ aku s $V_{\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc}(t) = (-t^{\frac{1}{2}}-t^{-\frac{1}{2}})^{m-1}$ dimana $m$ adalah jumlah komponen $\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc$. Jadi$$|T_G(-1,-1)|=|V_L(1)|=|V_{\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc}(1)| = 2^{m-1}.$$
Kasus di atas menangani kapan $L$bergantian. Jika$L$tidak bergantian, kemudian lanjutkan sebagai berikut. Membiarkan$D$ menjadi diagram apa pun $L$. Menetapkan$D_{\text{alt}}$ menjadi diagram dengan bayangan yang sama seperti $D$ tetapi yang penyeberangannya diubah menjadi bergantian, dan ditentukan $L_{\text{alt}}$ menjadi tautan yang diagramnya $D_{\text{alt}}$. Catat itu$D$ dan $D_{\text{alt}}$ memiliki grafik papan catur yang sama $G$. Argumen di atas menyiratkan bahwa$|T_G(-1,-1)|=2^{m-1}$ dimana $m$ adalah jumlah komponen $L_{\text{alt}}$. Sejak$L_{\text{alt}}$ dan $L$ memiliki jumlah komponen yang sama, hasilnya mengikuti untuk $L$ demikian juga.