Apakah membuktikan bahwa ada batas setara untuk menunjukkan bahwa nilainya nyata (terbatas)?

Aug 18 2020

Saya sedang mempelajari analisis Tao I. Pertanyaan saya muncul dari pembuktian hasil dengan menggunakan hukum batas, ini adalah contoh dari proposisi 7.2.14 (c):

c) Biarkan $\sum\limits_{n=m}^{\infty}a_n$ menjadi rangkaian bilangan real, dan biarkan $k\geq 0$menjadi integer. Jika salah satu dari dua seri$\sum\limits_{n=m}^{\infty}a_n$ dan $\sum\limits_{n=m+k}^{\infty}a_n$ konvergen, lalu yang lain juga, dan kami memiliki identitas berikut $$\sum\limits_{n=m}^{\infty}a_n=\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}a_n +\sum\limits_{n=m+k}^{\infty}a_n$$

Upaya saya untuk membuktikan: Biarkan $S_N=\sum\limits_{n=m}^{N}a_n$ dan $T_N=\sum\limits_{n=m+k}^{N}a_n$, maka kita punya $S_N=\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}a_n+T_N$ untuk semua $N\geq m+k$, (pernyataan itu juga berlaku saat $N<m+k$ dengan $T_N=0$ dan $S_N$ memiliki istilah nol yang berlebihan setelah indeks $N$ ), mengambil batas sebagai $N\to \infty$, kita punya $$\lim_{N\to\infty}S_N=\lim_{N\to\infty}\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}+\lim_{N\to\infty}T_N$$ $$=\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}+\lim_{N\to\infty}T_N,$$ karena jumlah yang terbatas tidak bergantung $N$.

Sekarang, asumsikan $\sum\limits_{n=m}^{\infty}a_n$ menyatu dengan $L$ , kemudian $\lim_{N\to\infty}S_N$ ada dan sederajat $L$, dan biarkan $\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}=M$, karena jumlah yang terbatas adalah konvergen, pertanyaan saya adalah dapatkah kita menggunakan dua hasil sebelumnya untuk menyimpulkannya $\lim_{N\to\infty}T_N$ ada dan sederajat $L-M$.

Atau haruskah saya membuktikannya $S_N$ adalah urutan Cauchy jika dan hanya jika $T_N$adalah? Sekali lagi, saya tidak mencari solusi atau verifikasi bukti, pertanyaan saya seperti judulnya: apakah membuktikan keberadaan batas setara dengan menunjukkan bahwa nilainya terbatas atau tidak?

Dalam istilah yang lebih logis adalah sebagai berikut $equivalence$ pernyataan benar: batas ada $\longleftrightarrow$ nilai batas $\in \mathbb{R}$.

Jika ya, mengapa kita tidak bisa berasumsi bahwa batas itu ada, maka coba hitung nilainya dan jika itu nyata maka simpulkan bahwa itu ada, misalnya dalam mengevaluasi $\lim\limits_{n\to\infty}x^n$ dan sama $L$, kemudian $xL=\lim\limits_{n\to\infty}x^{n+1}=L$ , maka kita punya $(x-1)L=0$. Sejak$x=1$ untuk setiap nyata $x$ tidak masuk akal, kami menyimpulkan itu $L=\lim\limits_{n\to\infty}x^n=0$ kapan $x\neq 1$. Namun kita tahu bahwa alasan di atas salah karena limitnya tidak ada sejak awal.

Jawaban

user2661923 Aug 19 2020 at 07:00

Pertama-tama, saya memberi suara positif; kerja bagus, diperlihatkan dengan baik.

Saya melihat beberapa area di mana analisis Anda perlu ditingkatkan:

(1)
Anda harus mengungkapkannya
$$ \sum_{n=m}^{\infty} a_n \text{ as } \sum_{n=m}^{m+k-1} a_n + \sum_{n=m+k}^{\infty} a_n. $$

Ini berbeda dengan apa yang Anda tulis.

(2)
Melanjutkan pendekatan Anda di sini (yang saya suka), dengan koreksi di atas,
istilah pertama di kanan:$\sum_{n=m}^{m+k-1} a_n$
adalah penjumlahan dari sejumlah suku tetap (dan karena itu terbatas), sejak$m$ dan $k$ adalah (saya berasumsi) nomor tetap.

Oleh karena itu, dengan menggunakan pendekatan Anda, saya akan menulisnya
$S = \sum_{n=m}^{m+k-1} a_n$, dengan $S$ independen dari$N$,
dan kemudian ditulis$T_N = \sum_{n=m+k}^{N} a_n. $

Kemudian, untuk kesederhanaan notasi, saya akan menulis:
Biarkan$T = \lim_{N \to \infty} T_N.$

(3)
Maka masalahnya akan direduksi menjadi menunjukkan itu$T$ terbatas (bukan tak terbatas) jika dan hanya jika $(T + S)$ terbatas.

Inilah inti masalahnya, dan di sinilah Anda ingin intuisi Anda berkembang. Di atas jika dan hanya jika pernyataan harus langsung didemonstrasikan menggunakan$\epsilon, \delta$ definisi dari kelas Anda kembali penjumlahan tak terbatas.