Apakah mungkin untuk melakukan kalkulus dan geometri diferensial dengan cara lama, tanpa kerangka orto atau sumbu? [Tutup]
Sunting: (Saya tidak bermaksud ini sebagai penghinaan atau perdebatan membahas cara mana yang terbaik atau lebih baik untuk apa, saya hanya mengajukan pertanyaan untuk minat saya dan saya percaya pada kepentingan sains, setidaknya untuk variasi. .Saya tidak mengidealkan pria atau pekerjaan mana pun, satu-satunya alasan saya mengemukakan prinsip adalah untuk menyelamatkan diri saya dari masalah menjawab serangkaian pertanyaan tanpa akhir tentang bagaimana saya akan menghitung secara praktis tanpa dasar, jadi itulah mengapa saya memanggil otoritas tertinggi di hal ini.
Saya tahu koordinat berguna jika digunakan dengan benar, saya hanya punya masalah ketika orang mengatakan Anda harus menggunakannya dalam perhitungan praktis dan itu tidak dapat dilakukan dengan cara lain. Formulasi invarian paling berguna dalam jangka panjang, ketika berhubungan dengan penyatuan area yang berbeda, dan menangani masalah terdalam yang hampir selalu membutuhkan beberapa tingkat penyatuan. Jika seseorang benar-benar tertarik dengan detailnya terutama untuk tujuan penelitian, saya dapat menjelaskannya lebih lanjut.)
Pada dasarnya tanpa menempelkan struktur yang tidak ada (non intrinsik) pada ruang aktual, yang untuk geometri euklidian adalah ruang titik afin euklidian. .
Cara mereka melakukan geometri dari Yunani kuno ke Descartes.
Koordinat dan peta mereka adalah dasar dari geometri diferensial standar. Teori ini bebas koordinat, tetapi penuh dengan benda-benda non geometris, dan dengan kebutuhan untuk membuktikan bahwa benda-benda geometris bukan sekadar koordinat omong kosong.
Saya mencari teori termasuk operator diferensial yang dibangun langsung di atas pendekatan geometri pra Descartes.
Newton mengembangkan seluruh prinsip matematika dengan cara ini, dan saya yakin dia bisa menggunakan kalkulus dengan pendekatan geometris itu.
Apakah ada eksposisi yang berhubungan dengan operator diferensial seperti turunan kovarian, bidang vektor dan bentuk diferensial, tanpa mengasumsikan geometri analitik (koordinat)
Jawaban
Geometri Geodesika , oleh Herbert Busemann, memberikan pendekatan intrinsik murni untuk sebagian besar geometri diferensial, melalui aksioma pada metrik.
Ini tidak mendefinisikan turunan kovarian - tetapi mendefinisikan geodesik tanpa mereka, sebagai peta yang menjaga panjang dari garis sebenarnya.
Ini tidak mendefinisikan bidang vektor - tetapi menganalisis gerakan, yang merupakan analog terbatas untuk gagasan yang sangat kecil itu.
Ini tidak mendefinisikan bentuk diferensial - tetapi mendefinisikan kelengkungan skalar secara sintetis.
Busemann kemudian membuktikan seluruh buku teorema yang mengesankan atas dasar ini. (Saya memberikan beberapa contoh di Karakterisasi ruang Euclidean ) Jika Anda menginginkan hasil dalam geometri Riemannian yang dapat Anda nyatakan tanpa definisi koordinat, Anda mungkin akan menemukan bukti di sana.
Saya pikir Anda mengajukan pertanyaan yang masuk akal, tetapi banyak yang tidak menyukai cara Anda menanyakannya. Akan lebih baik diterima jika Anda dapat mengungkapkannya dengan lebih teliti dan matematis dan menunjukkan bahwa Anda telah memikirkannya lebih dalam daripada yang ditunjukkan oleh kata-kata Anda. Bagaimanapun, ini adalah forum matematika penelitian. Tapi izinkan saya memberikan beberapa komentar.
Hal pertama adalah Newton versus Descartes. Saya belum pernah membaca karya Newton, jadi saya bisa saja salah. Tapi karena Descartes mendahului Newton, saya yakin Newton pasti telah memeluk koordinat Cartesian dan menggunakannya dalam karyanya tentang gerakan planet dan bentuk bumi. Bukankah begitu?
Mengenai pengembangan geometri diferensial tanpa koordinat, banyak ahli matematika, termasuk saya, telah mencobanya. Saya tidak yakin apakah Anda sedang berbicara tentang permukaan di ruang Euclidean atau ruang abstrak yang dikenal sebagai manifold. Dalam kedua kasus tersebut, kesan saya adalah bahwa langkah tersulit tepat di awal. Pertama, Anda perlu mengembangkan kalkulus multivariabel tanpa koordinat. Ini bisa dilakukan tetapi apakah itu sepadan dengan rasa sakitnya? Tidak sejauh yang saya tahu, tetapi Anda dapat melihat apakah Anda dapat melakukannya. Saya pasti bisa salah tentang itu. Kedua, ini mendefinisikan apa itu permukaan atau lipatan.
Beberapa ahli matematika yang sangat abstrak berhasil melakukan ini untuk lipatan, tetapi Anda kehilangan semua intuisi geometris dan berakhir di dunia yang sangat aljabar. Apakah itu sepadan dengan rasa sakitnya? Juga, tidak sejauh yang saya tahu. Setelah Anda menentukan manifold, Anda dapat mengerjakan dasar-dasar geometri Riemannian hanya dengan menggunakan bidang vektor abstrak. Hal ini ditunjukkan baik dalam monograf Milnor Teori Morse dan buku oleh Cheeger dan Ebin, Perbandingan Teorema dalam Geometri Riemannnian .
Sedangkan untuk permukaan dalam ruang Euclidean, pertama-tama Anda dapat mendefinisikan ruang Euclidean sebagai ruang vektor abstrak dengan hasil kali dalam. Kemudian Anda dapat menentukan permukaan sebagai himpunan level dari suatu fungsi yang gradiennya bukan nol dan bekerja dengan turunan fungsi tersebut (tanpa menggunakan koordinat). Geometri permukaan sekarang dapat diturunkan dari mempelajari kurva di permukaan dan turunannya. Beberapa di antaranya sangat bagus, tetapi beberapa aspek masih lebih mudah dihitung dan dipahami menggunakan koordinat. Secara khusus, sulit untuk membuat contoh tanpa menggunakan koordinat.
Namun, dalam jangka panjang, apa yang ditemukan oleh ahli ukur diferensial profesional adalah sebagai berikut: Tujuan utama kami adalah membuktikan teorema baru yang menarik seefisien mungkin. Pendekatan yang paling efisien tergantung pada keadaan khusus. Jadi kami membuang ideologi dan secara pragmatis belajar bagaimana menggunakan semuanya. Kami beralih di antara mereka sesuai kebutuhan. Jadi faktanya, menggunakan koordinat seringkali merupakan cara termudah. Alasan dasarnya adalah perjalanan turunan parsial. Fakta ini mendasar dan digunakan sepanjang waktu. Tanpa menggunakan koordinat atau bentuk diferensial (seperti saat menggunakan bingkai ortonormal), fakta itu sulit digunakan secara efisien.
Saya terus memikirkan semua ini dalam konteks pengajaran geometri diferensial. Saya setuju bahwa koordinat sering kali dapat mengaburkan apa yang sebenarnya terjadi. Saya tidak suka kebanyakan buku teks tentang geometri diferensial dasar. Jadi saya mencoba memikirkan pendekatan bebas koordinat yang menjelaskan geometri dengan lebih baik. Terkadang saya berhasil. Jika tidak, itu adalah koordinat atau bingkai ortonormal. Apapun yang bekerja paling baik.
Dimungkinkan untuk melakukan geometri diferensial dengan cara yang murni intrinsik, setidaknya setelah Anda melewati rintangan awal untuk menentukan apa itu manifold. Definisi standar manifold adalah ruang lokal-Euclidean yang dapat dihitung kedua, Hausdorff , sehingga diagram koordinat secara alami muncul (karena bagian terakhir itu). Mungkin saja untuk menghindari bagan sepenuhnya, tetapi hampir membutuhkan definisi baru untuk manifold. Tetapi begitu Anda berhasil melewati masalah ini, Anda dapat melakukan segala sesuatu dengan cara yang bebas koordinat, jika Anda mau.
Alasan sebenarnya mengapa kebanyakan geometer tidak melakukan ini adalah karena hal itu membuat perhitungan eksplisit menjadi sangat sulit. Pendekatan dan notasi intrinsik memiliki daya tarik filosofis, tetapi tidak cocok untuk banyak aplikasi, di mana Anda mungkin perlu menghitung enam atau tujuh turunan. Memilih bagan koordinat yang mudah (atau bingkai ortonormal) untuk membuat analisis lebih mudah benar-benar sebanding dengan hilangnya kesederhanaan konseptual. Faktanya, ada wawasan yang dapat ditemukan dengan menggunakan pilihan koordinat tertentu yang hampir tidak mungkin dilihat (atau pada dasarnya lebih sulit untuk dibuktikan) dengan menggunakan pendekatan yang lebih abstrak.