Apakah mungkin untuk menemukan bilangan bulat (non-kuadrat) yang merupakan modul residu kuadratik untuk daftar bilangan prima tak terbatas yang diberikan?
Saya bertanya-tanya apakah itu mungkin, diberi p utama dan daftar bilangan prima yang tak terbatas $q_1$, $q_2$, ... untuk mencari bilangan bulat d yang (1) bukan mod p persegi, tetapi (2) adalah mod persegi$q_i$untuk semua i. Selalu, terkadang, tidak pernah? Mungkin kadang-kadang --- apa sajakah syaratnya? Dalam aplikasi yang ada dalam pikiran saya, file$q_i$ adalah semua pembagi prima dari bilangan tersebut $p^{2^n}-1$ karena n berkisar dari 1 hingga tak terbatas, tetapi itu agak fleksibel.
(Aplikasi, omong-omong, melibatkan pengambilan interpolasi p-adic dari eksponensiasi bilangan bulat rasional, dan memperluasnya ke cincin bilangan bulat di menara bidang bilangan.)
[ETA: Saya lupa menyebutkan bahwa d juga harus berupa mod persegi 8 untuk aplikasi, yang mengesampingkan jawaban -1 yang diberikan di bawah ini.]
Untuk daftar terbatas, d dapat disusun menggunakan Teorema Sisa Cina, tetapi tampaknya tidak membantu di sini.
Diberikan, timbal balik kuadrat memberikan himpunan bilangan prima tak terbatas yang dnya adalah bujursangkar, tapi saya perlu bilangan prima ditentukan terlebih dahulu.
Grunwald-Wang mengatakan, jika saya memahaminya dengan benar, kondisi itu (1) menyiratkan bahwa d bukan modulo persegi$q$ untuk banyak bilangan prima yang tak terhingga $q$, tapi tidak mengatakan apapun tentang bilangan prima yang d merupakan kuadratnya.
Teorema Massa Jenis Chebotarov tampaknya menyiratkan bahwa himpunan kemungkinan d memiliki massa jenis nol, tetapi tidak mengesampingkan (atau menyiratkan) bahwa d semacam itu ada.
Terima kasih atas bantuan, sumber, atau saran apa pun!
---- Josh
Jawaban
Itu tergantung pada daftar bilangan prima yang diberikan. Kondisi yang lebih sederhana namun perlu adalah adanya a$d$ sehingga semua bilangan prima dari daftar (lebih besar dari $d$) terkonsentrasi dalam beberapa kelas kesesuaian $\bmod 4d.$ Kita dapat menggunakan pembagi prima ganjil karena semuanya adalah residu kuadrat $\bmod 2.$
Jika daftar semua bilangan prima kongruen dengan $1 \bmod 4$ kemudian $-1$adalah residu kuadrat yang umum. Itu mungkin tidak terlalu menarik.
Jika daftarnya adalah semua pembagi prima ganjil dari $3^{2^n}-1$ sebagai $n$ rentang di atas bilangan bulat positif kemudian $-1$lagi-lagi merupakan residu kuadrat yang umum. Itu adalah jenis hal yang Anda sebutkan. Tapi alasannya adalah semua bilangan prima itu ada$1 \bmod 4$
Jika saya tidak salah, dan karena alasan yang sama, $-1$ adalah residu kuadrat umum dari pembagi prima dari $p^{2^n}-1$ sebagai $n$ rentang di atas bilangan bulat mulai $2.$
Untuk bilangan prima tertentu, seperti $5,7,17,19,31,53,59$ kita dapat memperluas daftar ke semua pembagi prima dari $p^{2^n}-1$ dengan pengecualian $3.$ Secara umum, cukup membuang semua pembagi dari $p^2-1$ yang mana $3 \bmod 4.$
Fakta di balik ini adalah
- $p^{2^n}-1=(p-1)(p+1)(p^2+1)(p^4+1)\cdots(p^{2^{n-1}}+1)$
- setiap faktor ganjil $p^{2^m}+1$ adalah dari bentuknya $2^{m+1}q+1$
- $-1$ adalah residu kuadrat untuk bilangan prima yang berada $1 \bmod 4.$
Pikirkan dulu tentang pertanyaan (mudah) ini. Untuk diperbaiki$d$ apa bilangan prima ganjil $q$ seperti yang $d$ adalah residu kuadrat $\bmod q?$ Panggil set ini $G_d.$ Kita mungkin berasumsi seperti itu $d$ bebas persegi.
Kemudian anggota $G_d$ adalah pembagi prima dari $d$ bersama dengan bilangan prima tersebut dalam penyatuan kelas kongruensi tertentu $\bmod 4d.$ Setengah dari kelas $(r \bmod 4d)$ dengan $\gcd(r,4d)=1$
Dalam beberapa kasus ($d$ bahkan atau $d$ ganjil dengan semua pembagi $1 \bmod 4$) sudah cukup untuk mempertimbangkan kelas kesesuaian $\bmod 2d$. Bagaimanapun apa yang tertulis masih benar. Saya akan mengabaikan Anda$p$ dengan asumsi bahwa tujuannya adalah untuk mengesampingkan $d$ menjadi persegi.
Kemudian spesifik $d$ berfungsi untuk contoh tertentu dari masalah Anda, tepatnya jika daftar yang dipilih adalah salah satu dari banyak himpunan bagian tak terbatas dari $G_d.$
Di sisi lain, misalkan diberikan bahwa anggota daftar (selain pembagi $d$ dalam daftar, jika ada) dipilih dari beberapa $k \ll \phi(d)$ dari kelas kesesuaian $\bmod 4d$. Kemudian, jika file$k$ dipilih secara acak, kemungkinan itu $d$ akan bekerja kurang dari $2^{-k}$.
Jadi mulailah dari daftar $\mathbf{q}=q_1,q_2,\cdots$ pertanyaan pertama adalah "Apakah ada alasan untuk mencurigai adanya $M$ sehingga semua anggota $\mathbf{q}$ (prime to $M$) terkonsentrasi di beberapa kelas kesesuaian $\bmod M?$“Jika itu tidak terjadi, maka tidak ada harapan. Jika itu terjadi dengan pasti $M,$ maka kemungkinannya masih rendah.
Jadi sangat tergantung dimana $\mathbf{q}$ datang dari.
Ngomong-ngomong, masalah menemukan a $d$ yang merupakan non-residu kuadratik relatif terhadap semua $q \in \mathbf{q},$ sama sulitnya.