Apakah mungkin untuk mengklasifikasikan subruang tidak tertutup dari ruang Hilbert?

Jan 15 2021

Membiarkan $H$ menjadi ruang milik Hilbert.

Termotivasi oleh pertanyaan saya sebelumnya tentang fungsi linier yang sangat terputus-putus , yang dapat ditafsirkan sebagai upaya untuk mengklasifikasikan hyperplanes padat di$H$, izinkan saya sekarang langsung ke intinya:

Pertanyaan .

  1. Apakah ada perbedaan yang signifikan antara hyperplanes padat di $H$?

  2. Jika $L$ dan $M$ adalah dua hyperplanes padat $H$, apakah ada pemetaan operator kesatuan $L$ untuk $M$?

  3. Dengan asumsi jawaban (2) negatif, berapa banyak orbit yang ada untuk aksi alamiah dari kelompok kesatuan $\mathscr U(H)$ di set hyperplanes yang padat?


Berbicara tentang subruang umum (tidak harus tertutup atau padat) dari $H$, ada beberapa hal yang dapat dikatakan orang tentang hal itu.

Misalnya, tidak semua spasi seperti itu dapat dideskripsikan sebagai rentang operator terbatas dan, khususnya, tidak ada bidang hiper padat yang memenuhi syarat. Ini karena, jika rentang dari operator semacam itu memiliki dimensi-bersama yang terbatas, itu harus ditutup (ini mengikuti dengan mudah dari Teorema Graf Tertutup).

Rentang operator kompak tidak berisi subruang tertutup berdimensi tak hingga, jadi itu adalah properti lain yang dapat digunakan untuk mengklasifikasikan subruang.

Lebih Banyak Pertanyaan .

  1. Apakah ada kondisi yang diperlukan dan mencukupi, dinyatakan dalam istilah topologi / analitis, yang mencirikan kisaran operator yang dibatasi (resp. Kompak) di antara semua subruang dari $H$?

  2. Berapa banyak kelas kesetaraan kesatuan dari subruang tidak tertutup dari $H$ada? Berapa banyak dari ini yang dapat dijelaskan dalam istilah topologi / analitis?

Jawaban

1 Black Jan 16 2021 at 21:26

Saya rasa saya punya jawaban sederhana untuk Pertanyaan 4, dalam kasus ringkas: Subruang berdimensi tak hingga $E\subseteq H$ adalah kisaran operator kompak jika terdapat himpunan ortogonal (sebagai lawan orthonormal) $\{e_n\}_{n\in {\mathbb N}}\subseteq E$, seperti yang $$ \lim_{n\to \infty }\Vert e_n\Vert = \infty , $$ dan $$ E=\Big\{\xi \in \overline{\text{span}\{e_n\}}: \sum_{n=1}^\infty \big|\langle \xi , e_n\rangle \Big|^2<\infty \Big\}. $$ Ini mengikuti dengan mudah dari Teorema Spektral untuk operator kompak, dan fakta bahwa jangkauan operator kompak $T$ bertepatan dengan kisaran $|T|$.