Apakah peta Gysin masuk $K$-teori menghormati perbatasan?
Membiarkan $X_1$ dan $X_2$ menjadi dua putaran tertutup$^c$ manifold yang berbatasan melalui spin$^c$ berjenis-dengan-batas $W$.
Membiarkan $Z$ menjadi putaran tertutup$^c$ berjenis dengan $\dim Z=\dim X_1$ mod $2$. Membiarkan$$f_1:X_1\to Z,\qquad f_2:X_2\to Z,\qquad F:W\to Z$$ menjadi peta yang mulus seperti itu $F|_{X_1}=f_1$ dan $F|_{X_2}=f_2$. Kita bisa bergaul dengan$f_1$ dan $f_2$ dua peta arah yang salah (atau Gysin) masuk $K$-teori:
$$f_{1!}:K^0(X_1)\to K^0(Z),$$ $$f_{2!}:K^0(X_2)\to K^0(Z).$$
Membiarkan $E_1\to X_1$ dan $E_2\to X_2$ menjadi dua $\mathbb{C}$-vektor bundel sedemikian rupa sehingga ada bundel vektor $\Omega\to W$ memuaskan $\Omega|_{X_1}\cong E_1$ dan $\Omega|_{X_2}\cong E_2$. Membiarkan$[E_i]\in K^0(X_i)$ menunjukkan $K$-kelas teori ditentukan oleh $E_i$.
Pertanyaan: Apakah benar demikian$f_{1!}[E_1]=f_{2!}[E_2]\in K^0(Z)$?
Ditambahkan setelah: Saya akan sangat tertarik pada pendekatan yang tidak secara langsung menggunakan dualitas Poincare untuk K-theory / K-homology.
Jawaban
Membiarkan $N^n=\partial M^{n+1}$, $E\in K^\bullet(M)$ dan $f:M\to X$
Pilih penyematan yang mulus $i:X\to \mathbb{R}^N,N>>1$, dilambangkan dengan $\chi$ bundel normal $X$ dan oleh $\mu$ bundel normal $M$ setelah deformasi kecil yang sesuai $i\circ f$.
Membiarkan $\nu=\mu|_N$ dan $\eta$ menjadi bundel normal $N\subset M$ (yang sepele dan satu dimensi)
Dengan mempertimbangkan lingkungan tubular, kami mendapatkan peta alami:
$t:Th_\chi X\to Th_{\nu+\eta}N$, dimana $Th$ menunjukkan ruang Thom.
Setelah menerapkan isomorfisme Thom $th$ di $K^\bullet$ kita mendapatkan definisi dari peta Gysin (menuju "jalan yang benar" pada file $Th$'s). Maka untuk$f_!(E|_N)=0$ itu cukup untuk membuktikannya $t^* th_{\nu+\eta}(E|_N)=0$
Sebenarnya $t^*$sedang melewati homomorfisme penghubung. Yakni, ada diagram komutatif:
$\begin{matrix} Th_{\chi}X&\to& Th_{\mu}M/Th_\nu N&\\ \downarrow{t}&\swarrow{\sigma}&\downarrow{\Sigma}&\\ Th_{\nu+\eta}N&\xrightarrow{\sim}& \Sigma Th_{\nu}N&\\ \end{matrix}$
Panah atas berasal dari lingkungan tubular.
Isomorfisme horizontal berasal dari hal sepele $\eta$, saat suspensi $\Sigma$ dari urutan Puppe cofiber:
$Th_\nu N\to Th_\mu M\to Th_\mu M/Th_\nu N\xrightarrow{\Sigma} \Sigma Th_{\nu}N$
Peta $\sigma$ menjelaskan komutatifitas dan berasal dari:
$Th_\mu M/Th_\nu N\sim Th_\mu M/Th_\mu (N\times [0,\varepsilon))\to$ $Th_\mu (N\times(-\varepsilon,\varepsilon))/Th_\mu (N\times [0,\varepsilon))\to Th_{\nu+\eta}N$ dimana $N\times [0,\varepsilon)\subset M$ adalah kerah $N$.
Akhirnya, $\Sigma^*$ adalah homorfisme penghubung dan mengikuti itu $\Sigma^* th_{\nu}(F)=0$ untuk semua $F\in Im( K^\bullet(M)\to K^\bullet(N))$, jadi $t^* th_{\nu+\eta}(E|_N)=0$
Jawabannya adalah ya, menggunakan properti umum dari orientasi dan kelas dasar.
Membiarkan $X_1$ dan $X_2$ menjadi $n$--dimensi. Kemudian$f_{!i}$ adalah komposit $$K^0(X_i) \xrightarrow[\sim]{\cap [X_i]} K_n(X_i) \xrightarrow{f_{i*}} K_n(Z) \xleftarrow[\sim]{\cap [Z]} K^0(Z).$$
Sedangkan Poincare dualitas untuk $W$ memiliki bentuk $K^0(W) \xrightarrow{\cap [W]} K_{n+1}(W, X_1 \coprod X_2)$, dan $d([W]) = [X_1]-[X_2]$. Jadi$ d(\Omega \cap [W]) = (E_1 \cap [X_1], -E_2 \cap [X_2])$, sehingga
$$ (f_{1*})(E_1 \cap [X_1]) - (f_{2*}(E_2 \cap [X_2]) = F_* i_* (d(\Omega \cap [W])) = 0,$$
sejak komposit
$$K_{n+1}(W,X_1\coprod X_2) \xrightarrow{d} K_n(X_1 \coprod X_2) \xrightarrow{i_*} K_n(W)$$
adalah nol.