Apakah selalu ada fungsi $ f $ untuk itu $ Y - f ( X ) $ dan $ X $ mandiri?
Membiarkan $ X $ dan $ Y $ menjadi variabel acak nyata.
Apakah selalu ada fungsi $ f $ untuk itu $ Y - f ( X ) $ dan $ X $ mandiri?
Saya mencoba membuktikan pernyataan itu, tetapi saya tidak bisa melakukannya.
Jika pernyataannya salah, harus ada variabel acak $ X $ dan $ Y $ sedemikian rupa untuk fungsi apa pun $ f $, $ Y - f ( X ) $ dan $ X $yang tidak independen.
Tetapi saya juga tidak dapat menemukan pasangan variabel acak seperti itu $ X $ dan $ Y $.
Saya sangat menghargai saran atau petunjuk apapun!
Jawaban
Tidak, tapi memang ada $f(X)$ sedemikian rupa sehingga mereka tidak berkorelasi.
Dua variabel $X$ dan $Y$ independen jika distribusi probabilitas $Y|X$ tidak bergantung pada $X$. Mempertimbangkan$Y|X \sim N(0, X^{2})$, kemudian $Y-f(X)|X \sim N(-f(X), X^{2})$ yang masih bergantung $X$ untuk fungsi apa pun $f$.
Jika kita mendefinisikan $E[f(X)]$ yang seperti itu $Cov(f(X), X) = Cov(Y,X)$, kemudian $Cov(Y-f(X), X) = 0$. Misalnya, biarkan$f(X) = \frac{Cov(Y,X)}{Var(X)} X$ menjadi linier.
Membiarkan $\Omega = \{a,b,c\}$ menjadi ruang probabilitas dengan tiga hasil, masing-masing memiliki probabilitas $1/3$. Membiarkan$X = 1_{\{a\}}$ dan $Y = 1_{\{b\}}$. Anda dapat memeriksanya jika$A,B$adalah peristiwa independen di ruang ini, maka salah satunya harus memiliki probabilitas 0 atau 1; sebagai hasilnya, variabel acak apa pun yang tidak bergantung$X$harus konstan. Tapi$Y-f(X)$ tidak pernah bisa konstan, karena akan mengambil nilai yang berbeda di $b$ dan $c$.