Apakah selalu mungkin untuk mempartisi $[a,b]\times[c,d]$ menjadi blok yang terputus-putus $D_{ij}$ st $\left.f\right|_{D_{ij}}$ itu bijective?
Pertimbangkan fungsi yang diberikan oleh $f:[a,b]\times[c,d]\to[0,1]^{2}$ seperti yang $0\leq a < b \leq 1$, $0 \leq c < d \leq 1$.
Selain itu, kami juga punya itu $f\in C^{1}([a,b]\times[c,d],[0,1]^{2})$ dan itu surjective.
Pertanyaan saya
Apakah selalu mungkin untuk mempartisi $[a,b]\times[c,d]$ menjadi blok yang terputus-putus $D_{ij} = [x_{i},x_{i+1}]\times[y_{j},y_{j+1}]$, dimana $1\leq i \leq m$ dan $1\leq j\leq n$, seperti yang $\left.f\right|_{D_{ij}}$ itu bijective?
Jika ya, apakah ada jumlah minimum blok $D_{ij}$ yang memenuhi batasan ini?
Di sini saya menganggap fungsinya $f$ tidak konstan di mana pun dan $|f^{-1}(\{(x,y)\})| < N$ untuk setiap $(x,y)\in[0,1]^{2}$.
Pertanyaan seperti itu bukanlah pekerjaan rumah. Itu muncul dari penelitian pribadi saya.
Jika pertanyaan ini tidak cukup untuk situs ini, beri tahu saya.
EDIT
Pertanyaan tindak lanjut untuk ini dibahas di sini .
Jawaban
Jawabannya adalah tidak.
Misalnya, biarkan $[a,b]=[c,d]=[0,1]$ dan $$f(x,y):=(g(x),y)$$ untuk $(x,y)\in[0,1]^2$, dimana $$g(x):=c\,h(x),$$ $$h(x):=x^p (1+a \sin\ln x)$$ untuk $x\in(0,1]$ dengan $h(0):=0$, $$p\in(1,\infty),\quad1>a>\frac p{\sqrt{p^2+1}},\tag{0}$$ dan $c:=1/\max_{x\in[0,1]}h(x)$. Kemudian$f$ adalah dugaan $C^1$ peta dari $[0,1]^2$ untuk $[0,1]^2$.
Juga, untuk siapa saja $(x,y)\in[0,1]^2$, apa saja $u\in(0,1]$, dan apa saja $v\in[0,1]$ kesetaraan $f(x,y)=(u,v)$ menyiratkan $y=v$ dan $$\Big(\frac{u/c}{1+a}\Big)^{1/p}\le x\le\Big(\frac{u/c}{1-a}\Big)^{1/p}$$ dan karenanya $$\frac{\ln(u/c)}p-\frac{\ln(1+a)}p\le \ln x\le\frac{\ln(u/c)}p-\frac{\ln(1-a)}p,\tag{1}$$ yang seperti itu $\ln x$ bervariasi paling banyak $\frac{\ln(1+a)}p-\frac{\ln(1-a)}p=O(1)$ seragam $u\in(0,1]$.
Juga, $$g'(x)=cx^{p-1} [p+a (p \sin\ln x+\cos\ln x)] \\ =cx^{p-1} [p+a\sqrt{p^2+1}\,\sin(t+\ln x)]\tag{2}$$ untuk beberapa nyata $t$ (hanya bergantung pada $p$ dan $a$) dan semua $x\in(0,1]$.
Jadi, dengan syarat (1), $g'(x)$ dapat mengubah tanda tidak lebih dari $n$ kali, untuk beberapa alami $n$ tergantung hanya pada $p$ dan $a$. Karena itu,$|f^{-1}(u,v)|\le n+1$ untuk apapun $(u,v)\in(0,1]\times[0,1]$. Juga,$f^{-1}(0,v)=\{(0,v)\}$ untuk apapun $v\in[0,1]$. Begitu,$|f^{-1}(u,v)|\le n+1$ untuk apapun $(u,v)\in[0,1]\times[0,1]$.
Di sisi lain, ini mengikuti dari (2) dan (0) itu $g'$ mengubah tanda berkali-kali tanpa batas di lingkungan mana pun yang benar $0$. Oleh karena itu, pembatasan$f$ ke persegi panjang mana pun dengan puncak di $(0,0)$ tidak bersifat bijective.
Sebagai gambaran, berikut adalah grafiknya $\{(e^{-1/t},\ln h(e^{-1/t}))\colon0<t<1\}$ (kiri) dan $\{(e^{-1/t},\ln h(e^{-1/t}))\colon0<t<0.1\}$ (kanan) untuk $p=3/2$ dan $a=9/10$. Grafik ini adalah versi skala non-linear (horizontal dan vertikal, untuk persepsi yang lebih baik) dari grafik fungsi$h$ di lingkungan yang tepat dari $0$.
