Apakah setiap berurutan $\sigma(E',E)$-fungsi linier kontinu pada ruang Banach ganda $E'$ tentu evaluasi poin?

Question

$\newcommand{\bf}[1]{\mathbb #1}\newcommand{\sc}[1]{\mathscr #1}$Sebuah dualitas antara dua ruang vektor$E$ dan $F$ lebih $\bf K$ ($= {\bf R}$ dari ${\bf C}$), menurut definisi, adalah bentuk bilinear $$ \langle \cdot, \cdot\rangle :E\times F\to \bf K, $$ seperti itu, jika $\langle x, y\rangle =0$ untuk setiap $x$ di $E$, kemudian $y=0$. Dan sebaliknya.

Mengingat dualitas seperti di atas, salah satu mendefinisikan satu topologi lemah pada$F$, biasanya dilambangkan $\sigma (F,E)$, Menjadi topologi paling kasar yang menurutnya fungsi linier $$ y\in F\mapsto \langle x, y\rangle \in \bf K $$ terus menerus untuk setiap $x$ di $E$.

Ini adalah fakta klasik bahwa setiap $\sigma (F,E)$-fungsional linier terus menerus $\varphi :F\to \bf K$, dapat diwakili oleh vektor dalam format$E$ dalam arti bahwa ada (harus unik) $x$ di $E$ seperti yang $$ \phi(y) = \langle x, y\rangle ,\quad\forall y\in E. $$

Oleh karena itu, seseorang dapat bertanya:

Pertanyaan . Apakah hal di atas masih berlaku jika kontinuitas digantikan oleh kontinuitas sekuensial . Dengan kata lain, harus setiap berurutan$\sigma (F, E)$-fungsi linier kontinu aktif $F$ diwakili oleh vektor dalam $E$.

Sebelum pembaca melompat ke tugas untuk membuktikan atau membantahnya, izinkan saya mengatakan bahwa sayangnya jawabannya negatif, contoh tandingan disajikan di bawah ini.

Jadi izinkan saya mengkhususkan ini sedikit dengan membatasi pada situasi di mana $E$ adalah ruang Banach dan $F$ adalah dualitas topologisnya, dengan dualitas kanonik $$ \langle x, \varphi \rangle = \varphi (x), \quad \forall x\in E, \quad \forall \varphi \in E'. $$

Tepatnya:

Pertanyaan . Membiarkan$E$ jadilah ruang Banach dan biarkan $\varphi $ menjadi fungsional linier $E'$ yang berurutan $\sigma (E',E)$-kontinu. Aku s$\varphi $ harus diwakili oleh vektor dalam format $E$?

Ini jelas benar jika $E$ refleksif dan saya pikir saya juga bisa membuktikannya $E=c_0$, serta untuk $E=\ell ^1$.

---

CONTOH COUNTER

Membiarkan $E=\sc F(H)$ menjadi himpunan semua operator peringkat terbatas di ruang Hilbert, dan $F=\sc B(H)$, dengan dualitas yang didefinisikan melalui jejak, yaitu $$ \langle S, T\rangle = \text{tr}(ST), \quad\forall S\in \sc F(H), \quad\forall T\in \sc B(H). $$

Pada kasus ini $\sigma \big (\sc B(H),\sc F(H)\big )$ ternyata adalah topologi operator lemah (WOT), yang bertepatan dengan topologi operator lemah sigma ($\sigma $-WOT) pada subset yang dibatasi $\sc B(H)$.

Karena urutan konvergen WOT dibatasi oleh Banach-Steinhauss, kita memiliki bahwa urutan konvergen WOT adalah sama dengan $\sigma $-WOT yang konvergen. Ini mengikuti bahwa setiap$\sigma $-WOT-fungsional linier terus menerus $\sc B(H)$juga WOT-kontinu. Singkat cerita, untuk setiap operator kelas jejak$S$ di $H$ dari pangkat tak terbatas, fungsional linier $$ T\in \sc B(H) \mapsto \text{tr}(ST)\in {\bf C} $$ berurutan WOT-kontinu, tetapi tidak diwakili oleh operator di $\sc F(H)$.

Answer 1

Mikael de la Salle menunjukkan ini benar ketika $E$dapat dipisahkan, seperti yang ditunjukkan dalam Corollary V.12.8 dari Conway, A Course in Functional Analysis, 2e .

Untuk counterexample yang tidak dapat dipisahkan, pertimbangkan ruang ordinal yang tidak dapat dihitung $[0, \omega_1]$, yang merupakan Hausdorff kompak, dan $E = C([0, \omega_1])$. Dengan teorema representasi Riesz,$E'$ adalah ruang ukuran Radon yang ditandatangani $\mu$ di $[0, \omega_1]$dengan norma variasi totalnya. Membiarkan$\varphi(\mu) = \mu(\{\omega_1\})$. Ini jelas tidak diwakili oleh vektor apa pun di$E$ sejak fungsinya $1_{\{\omega_1\}}$ tidak kontinu, tapi saya klaim $\varphi$ secara berurutan $\sigma(E', E)$ kontinu.

Membiarkan $\mu_n$ menjadi urutan konvergen ke 0 in $\sigma(E', E)$ dan perbaiki $\epsilon > 0$. Sejak masing-masing$\mu_n$ adalah Radon, begitu juga ukuran variasi totalnya $|\mu_n|$, dan dengan demikian kami dapat memperkirakan $\{\omega_1\}$ di $|\mu_n|$-ukuran dari luar dengan set terbuka. Jadi ada$\alpha_n < \omega_1$ seperti yang $|\mu_n|((\alpha_n, \omega_1)) < \epsilon$. Membiarkan$\alpha = \sup_n \alpha_n < \omega_1$; kemudian$|\mu_n((\alpha, \omega_1))| \le |\mu_n|((\alpha, \omega_1)) < \epsilon$ untuk setiap $n$.

Menetapkan $f : [0, \omega_1] \to \mathbb{R}$ oleh $$f(x) = \begin{cases} 0, & x \le \alpha \\ 1, & x > \alpha \end{cases}$$ dan catat itu $f$terus menerus. Sekarang$$\varphi(\mu_n) = \mu_n(\{\omega_1\}) = \mu_n((\alpha, \omega_1]) - \mu_n((\alpha, \omega_1)) = \int f\,d\mu_n - \mu_n((\alpha, \omega_1)).$$

Tapi dengan asumsi $\int f\,d\mu_n \to 0$, dan $|\mu_n((\alpha, \omega_1))| < \epsilon$, jadi kami simpulkan $\varphi(\mu_n) \to 0$.