Apakah setiap lingkungan homologi integral menerima ruang penutup yang berhingga?

Question

A ditutup $n$-berjenis $M$disebut lingkungan homologi integral jika$H_*(M; \mathbb{Z}) \cong H_*(S^n; \mathbb{Z})$. Apalagi kami mengatakan seperti itu$M$ tidak sepele jika $M$ tidak bersifat homeomorfik $S^n$.

Saya tertarik dengan pertanyaan berikut:

Apakah setiap bidang homologi integral non-trivial menerima ruang penutup yang terhubung terbatas (selain dirinya sendiri)?

Contoh pertama dari bidang homologi integral non-trivial terjadi dalam dimensi tiga. Dekomposisi utama dari lipatan tersebut hanya dapat mengandung faktor asferis. Ini mengikuti dari solusi Ian Agol dari dugaan bilangan betti virtual positif pertama bahwa jawaban atas pertanyaan di atas adalah ya dalam dimensi tiga.

Seseorang dapat merumuskan kembali pertanyaan di atas dalam istilah teori-kelompok murni. Ingatlah bahwa grup$G$disebut superperfect if$H_1(G; \mathbb{Z}) = 0$ dan $H_2(G; \mathbb{Z}) = 0$. Oleh karena itu, kelompok fundamental dari lingkungan homologi integral adalah kelompok super sempurna yang disajikan secara halus. Sebaliknya, setiap kelompok super sempurna yang disajikan secara halus muncul sebagai kelompok fundamental dari lingkup homologi integral oleh hasil Kervaire, lihat di sini . Oleh karena itu, pertanyaan di atas sama dengan pertanyaan berikut:

Apakah setiap grup superperfect yang disajikan tanpa batas non-trivial mengandung subgrup indeks hingga (selain dirinya sendiri)?

Minat utama saya adalah kasus di mana grup juga bebas torsi, jadi saya akan senang dengan jawaban yang dapat menangani kasus ini.

Answer 1

Grup Higman disajikan secara halus, super sempurna (bahkan asiklik), lihat di sini (lihat juga Contoh 41 di sini ), dan tidak berisi subgrup indeks hingga yang tepat. Kompleks presentasi standar dari grup Higman adalah asferis dan, oleh karena itu, grup tersebut bebas torsi (memiliki dimensi cohomological 2).