Apakah variasi ini menggambarkan monoid kiri?

Question

Dalam pertanyaan ini saya telah mendefinisikan variasi berikut.

Membiarkan $(S, \cdot, e)$ menjadi seperti itu $(S, \cdot)$ adalah semigroup, $e$ adalah operasi biner, dan biarkan identitas $e(x, y)x \approx x$, $e(x, y)\approx e(y, x)$memegang. Mari kita sebut struktur yang memenuhi itu sebagai monoid kiri ganda, atau dlm.

Seseorang dapat melihat itu jika $(S, \cdot)$ adalah monoid kiri dengan identitas kiri $f$, lalu pengaturan $e(x, y)\equiv f$ kami mendapatkan dlm a.

Jika $(S, \cdot, e)$, sebagai setengah kelompok, bukanlah monoid kiri, maka tidak bisa menjadi monoid kanan. Jelas, jika$f$ adalah identitas yang benar, lalu $e(x, f)f = f = e(x, f)$ untuk semua $x$, sehingga $fx = x$ untuk semua $x$, jadi itu akan menjadi monoid.

Apakah sembarang dlm harus monoid kiri setelah transformasi $(S, \cdot, e)\mapsto (S, \cdot)$ yang melupakan operasinya $e$?

Answer 1

Jawabannya adalah tidak, seperti yang ditunjukkan oleh semigroup $(\Bbb{Z}, \min)$ dengan $e(x,y) = \max(x,y)$.