Apakah $(x-1)^2+(y-1)^2 \le c\big((x-y)^2+(xy-1)^2\big) $ memegang?

Aug 20 2020

Apakah ada konstanta positif $c>0$ seperti yang $$(x-1)^2+(y-1)^2 \le c\big((x-y)^2+(xy-1)^2\big) \tag{1}$$

berlaku untuk nonnegatif $x,y$?

Izinkan saya menambahkan beberapa konteks untuk pertanyaan ini:

Motivasinya berasal dari kasus tadi $x,y$ ditafsirkan sebagai nilai tunggal a $2 \times 2$ matriks $A$dengan determinan nonnegatif. Kemudian$f(x,y)=(x-1)^2+(y-1)^2=\operatorname{dist}^2(A,\operatorname{SO}(2))$.

Saya tertarik dengan loncat-loncat $\operatorname{dist}^2(A,\operatorname{SO}(2))$ dari atas dengan jumlah dua istilah: istilah yang menghukum penyimpangan $A$ dari pelestarian area, dan istilah $\operatorname{dist}^2(A,\operatorname{CO}(2))$, yang menghukum penyimpangan menjadi konformal. (Sini$\operatorname{CO}(2)=R^{+}\operatorname{SO}(2)$ adalah kelompok matriks konformal).

Dalam jawaban atas pertanyaan saya sebelumnya ini , ikatan berikut terbukti:$$ (x-1)^2+(y-1)^2 \le |x-y||x+y| + 2|xy-1|. $$

Meskipun ini dekat dengan apa yang ada dalam pikiran saya, istilahnya $|x-y||x+y|$ bisa menjadi besar bahkan ketika $x,y$menjadi sangat dekat. Bahkan, bisa dibuktikan $\operatorname{dist}^2(A,\operatorname{CO}(2))=\frac{1}{2}(\sigma_1(A)-\sigma_2(A))^2$, jadi inilah alasan untuk menanyakan tentang batasan spesifik $(1)$. (Syarat$(x-y)^2$ sesuai dengan $\operatorname{dist}^2(A,\operatorname{CO}(2))$).

Jawaban

3 nguyenhuyen_ag Aug 20 2020 at 14:00

Membiarkan $x=y=0,$ kita mendapatkan $c \geqslant 2.$

Untuk $c =2,$ ketimpangan menjadi $$(x-1)^2+(y-1)^2 \leqslant 2\big((x-y)^2+(xy-1)^2\big),$$ setara dengan $$2x^2y^2+x^2+y^2+2(x+y) \geqslant 8xy.$$ Menggunakan ketidaksetaraan AM-GM, kami punya $$2x^2y^2+x^2+y^2+2(x+y) \geqslant 8\sqrt[8]{(x^2y^2)^2 \cdot x^2 \cdot y^2 \cdot (xy)^2}=8xy.$$ Jadi, ketidaksetaraan Anda berlaku untuk semua $c \geqslant 2.$