Bagaimana amplitudo dari $\cos$dan $\sin$terpilih?

Aug 17 2020

Saya tidak mengerti mengapa kami menggunakan$\displaystyle\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}$dalam transformasi di bawah ini. Adakah yang bisa membantu menjelaskan?

dari

$$f(x)=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}e^t\left(\cos(2t)+\frac{1}{2}\sin(2t)\right)$$

berubah menjadi

$$f(x)=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}e^t\left(\frac{1}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}\cos(2t)+\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}\sin(2t)\right)$$

membiarkan$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}=\cos\phi$dan$\displaystyle\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}=\sin\phi$,

$$f(x)=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}e^t(\cos\phi\cos(2t)+\sin\phi\sin(2t))$$

Jawaban

2 egreg Aug 17 2020 at 15:47

Mari kita berkonsentrasi pada bagian penting, yang berbentuk$$ f(x)=a\cos x+b\sin x $$yang ingin kami ungkapkan sebagai$$ f(x)=A(\cos\varphi\cos x+\sin\varphi\sin x) $$Kondisi perlu (dan cukup) adalah bahwa$$ A\cos\varphi=a,\qquad A\sin\varphi=b $$dan maka dari itu$a^2=A^2\cos^2\varphi$,$b^2=A^2\sin^2\varphi$. Karena itu$$ A^2=a^2+b^2 $$Kami ingin$A>0$(tidak perlu, tetapi nyaman), jadi kita dapatkan$$ A=\sqrt{a^2+b^2},\quad \cos\varphi=\frac{a}{A},\quad \sin\varphi=\frac{b}{A} $$Dua syarat terakhir dapat dipenuhi, karena$(a/A,b/A)$adalah titik pada lingkaran satuan.

1 user Aug 17 2020 at 15:21

Ini adalah cara untuk menormalkan vektor$v=(a,b)=\left(1,\frac12\right)$itu adalah

$$|v|=\sqrt{a^2+b^2} \implies \hat v=\frac{v}{|v|}$$

memiliki panjang sama dengan$1$dan ini memungkinkan untuk melakukan transformasi selanjutnya untuk$\cos \phi$dan$\sin \phi$.