Bagaimana Anda mengevaluasi $\int_0^1 x^n\arcsin^2(x) \, dx$
Integral ini muncul ketika sedang mencoba menyelesaikan ini . Saya tidak tahu apakah mungkin mendapatkan solusi umum untuk
$$I = \int_0^1 x^n\arcsin^2(x) \, dx$$
dimana $n\in\mathbb{N}$. WolframAlpha mampu memecahkan integral untuk$n=1,2,3$, tapi waktu komputasi akan habis. Seseorang bisa menggantikannya$u = \arcsin(x)$ dan $du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$
$$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin^n(x)\sqrt{1-\sin^2(x)} \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2\sin^n(x)\cos(x) \, dx$$
WolframAlpha menggunakan beberapa identitas trigonometri untuk memecahkan kasus ketika $n=1,2,3$, tetapi apakah ada cara untuk menyelesaikannya untuk semua $n\in\mathbb{N}$?
Jawaban
Saya tahu ini mungkin tidak membantu Anda dengan cara mengevaluasi, tetapi Mathematica memberikan solusinya$$ \frac{2 \, _3F_2\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;\frac{3}{2},\frac{n}{2}+2;1\right)}{(n+ 1) (n+2)}+\frac{\pi ^2}{4 (n+1)}-\frac{\pi ^{3/2} \Gamma \left(\frac{n}{2}+1\right)}{(n+1)^2 \Gamma \left(\frac{n}{2}+\frac{1}{2}\right)} $$ yang juga tampaknya bekerja untuk setidaknya beberapa pecahan $n$. $\;_3F_2$menggunakan notasi dari fungsi hipergeometrik umum . Istilah yang tepat yang paling berhubungan dengan Mellin mengubah dari$\arcsin^2(x)$.
Solusi Mathematica mungkin dicapai dengan menggunakan representasi $\arcsin(x)$sebagai fungsi Meijer-G dan menyelesaikan bentuk umum untuk integral dari sepasang fungsi Meijer-G . Terakhir, ubah hasilnya kembali ke fungsi hipergeometrik. Ini adalah algoritme umum untuk menyelesaikan integral secara simbolis secara umum, tetapi sulit untuk mengatakan dengan pasti, karena integral Anda juga berbelit-belit dengan fungsi langkah Heaviside.
Kemungkinan besar Anda dapat menulis integral Anda sebagai $\mathcal{M}[\Theta(1-x) \arcsin^2(x)]$, yaitu transformasi Mellin dari produk $\Theta(1-x)$ dan $\arcsin^2(x)$, yang memiliki representasi Meijer-G $$ \Theta(1-x) = \text{MeijerG}(\{\{\},\{1\}\},\{\{0\},\{\}\},x) $$ dan $$ \arcsin^2(x) = -\frac{1}{2} \sqrt{\pi } \text{MeijerG}\left(\{\{1,1,1\},\{\}\},\left\{\{1\},\left\{0,\frac{1}{2}\right\}\right\},i x,\frac{1}{2}\right) $$ dan gunakan persamaan tersebut $$ \int_0^{\infty} G_{p,q}^{\,m,n} \!\left( \left. \begin{matrix} \mathbf{a_p} \\ \mathbf{b_q} \end{matrix} \; \right| \, \eta x \right) G_{\sigma, \tau}^{\,\mu, \nu} \!\left( \left. \begin{matrix} \mathbf{c_{\sigma}} \\ \mathbf{d_\tau} \end{matrix} \; \right| \, \omega x \right) dx = \frac{1}{\eta} \; G_{q + \sigma ,\, p + \tau}^{\,n + \mu ,\, m + \nu} \!\left( \left. \begin{matrix} - b_1, \dots, - b_m, \mathbf{c_{\sigma}}, - b_{m+1}, \dots, - b_q \\ - a_1, \dots, -a_n, \mathbf{d_\tau} , - a_{n+1}, \dots, - a_p \end{matrix} \; \right| \, \frac{\omega}{\eta} \right) $$ atau serupa, jadi komputer adalah alat yang sangat membantu, terutama untuk memecah hasil dalam kaitannya dengan identitas hipergeometrik.
Solusi alternatif, hindari fungsi khusus.
Terkadang integral tak tentu dapat diperoleh jika seseorang membuat ansatz tentang solusi, tergantung pada beberapa parameter yang tidak diketahui, kemudian dengan melakukan diferensiasi, nilai parameter yang benar dapat diperoleh.
Asumsikan bahwa untuk genap $n=2m$ solusinya memiliki bentuk $$ \int x^{2m}\arcsin^2(x)dx=-2xP_m(x^2)+2\sqrt{1-x^2}Q_m(x^2)\arcsin(x)+\frac{x^{2m+1}}{2m+1}\arcsin^2(x)+C $$ dimana $P_m,Q_m$ adalah polinomial derajat $m.$ Kemudian, dengan membedakan kita memiliki identitas $$ -2P_m(x^2)-4x^2P'_m(x^2)-\frac{2x}{\sqrt{1-x^2}}Q_m(x^2)\arcsin(x)+4x\sqrt{1-x^2}Q'_m(x^2)\arcsin(x)+\\+2Q_m(x^2)+x^{2m}\arcsin^2(x)+\frac{x^{2m+1}}{2m+1}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}2\arcsin(x). $$ Semua istilah harus dihilangkan, kecuali $x^{2m}\arcsin^2(x)$, jadi, pisahkan istilah-istilah yang mengandung $\arcsin(x)$ dari yang lain, dan dengan posisi $t=x^2,$ kita memiliki dua persamaan diferensial linier orde pertama: $$ 2(1-t)Q'_m-Q_m+\frac{t^m}{2m+1}=0\\ 2tP'_m+P_m-Q_m=0 $$yang tidak kita butuhkan, dan tidak ingin, solusi umum, yang mengandung akar kuadrat, tetapi hanya solusi polinomial khusus yang unik. Setelah menemukan solusi ini, mudah untuk melihat bahwa nilai integral pasti adalah$$ \int_0^1 x^{2m}\arcsin^2(x)dx=\frac{1}{2m+1}\left(\frac{\pi}{2}\right)^2-2P_m(1). $$
Dengan cara yang sama, untuk ganjil $n=2m+1$, kita seharusnya $$ \int x^{2m+1}\arcsin^2(x)dx=-x^2P_m(x^2)+2x\sqrt{1-x^2}Q_m(x^2)\arcsin(x)+\left(\frac{x^{2m+2}}{2m+2}-k\right)\arcsin^2(x)+C $$ dan langsung menuju persamaan diferensial yang diperoleh, mereka $$ t(1-t)Q'_m+(1-2t)Q_m+\frac{t^{m+1}}{2m+2}-k=0,\\ tP'_m+P_m-Q_m=0 $$ (dari yang pertama ini kami juga dapatkan $k=Q_m(0)$).
Sekali lagi, kami mencari solusi polinomial, dan begitu ditemukan, kami punya$$ \int_0^1 x^{2m+1}\arcsin^2(x)dx=\left(\frac{1}{2m+2}-Q_m(0)\right)\left(\frac{\pi}{2}\right)^2-P_m(1). $$