Bagaimana cara mendapatkan hasil yang benar untuk integral ini?

Question

Wolfram | Alpha, sejauh yang saya tahu, satu-satunya situs web yang memberikan solusi tepat untuk integral ini ,$$ f(x) = \frac{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2 \cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+2}+2}+2}}{\sqrt{x}} $$ $$ F(x) = \int f(x)\, dx$$ karena menurunkan fungsi yang diberikan sebagai hasil kita mendapatkan fungsi aslinya.

Inilah solusinya: $$ F(x) = \frac{1}{5} (-8) \sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1} \sqrt{\sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1}+2} \left(\sqrt{\sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1}+2}-2\right) \sqrt{\sqrt{\sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1}+2}+2} \csc \left(5 \sqrt{x}+4\right) + C $$

Namun, dalam video ini, hasil yang diberikan salah meskipun proses integrasinya tampaknya benar. Seperti di atas, Anda tahu bahwa hasilnya salah karena menurunkan fungsi yang dihasilkan tidak menghasilkan fungsi asli yang ingin kita integrasikan.

Saya perlu mendapatkan hasil yang benar, tetapi saya tidak tahu caranya.

Answer 1

Seperti yang ditunjukkan oleh Ninad, ini adalah solusi parsial, setara dengan proses yang digunakan dalam video, yang hanya valid jika $$\cos\frac t2$$ positif .

Mulailah dengan identitas ini:

$$\sqrt{2+2\cos t} = \sqrt{4\cos^2\frac t2} = 2\cos\frac t2$$ Untuk menerapkan ini pada integrand, pertama buat substitusi $t = \sqrt x$, lalu terapkan properti ini secara berturut-turut. $$\begin{gather} I = \int\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + 2\cos(5t+4)}}}\cdot 2dt\\ = \int\sqrt{2 + \sqrt{2+2\cos\left(\frac{5t+4}{2}\right)}} \cdot 2 dt\\ = \int\sqrt{2 + 2\cos\left( \frac{5t+4}{4}\right)} \cdot 2dt \\ = \int 4\cos\left(\frac{5t+4}{8}\right) dt \\ = \frac{32}{5}\sin\left( \frac{5\sqrt x + 4}{8} \right) + C \end{gather}$$