Bagaimana cara mendapatkan solusi "terkenal" untuk Penguatan Array Tidak Terbatas?
Dapatkah seseorang mengarahkan saya ke halaman web atau sumber daya lain yang menunjukkan cara memecahkan secara analitis ekspresi Beamformer Unconstrained Array Gain dalam makalah IEEE 1987 Henry Cox "Robust Adaptive Beamforming"?
$$ \max_{\mathbf{w}} \frac{|\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2}{\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}} $$
Cox mengatakan:
Solusi terkenalnya adalah $\mathbf{w} = \alpha\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}$
Saya hanya ingin lebih memahami ini dengan mempelajari cara mendapatkan ini sendiri.
Jawaban
Anda dapat mengatasi masalah seperti itu menggunakan metode pengali Lagrange . Catatan pertama bahwa memaksimalkan ekspresi dalam pertanyaan Anda sama dengan meminimalkan fungsi invers:
$$\min_{\mathbf{w}}\frac{\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}}{|\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2}\tag{1}$$
Selanjutnya perhatikan bahwa solusi $(1)$ tidak berubah dari penskalaan $\mathbf{w}$, yaitu, mengganti $\mathbf{w}$ oleh $c\cdot\mathbf{w}$ di $(1)$ dengan konstanta skalar sewenang-wenang $c$tidak akan mengubah nilai fungsinya. Jadi sebaiknya kita menggunakan penskalaan seperti itu$\mathbf{w}^H\mathbf{d}=1$puas. Penskalaan ini sesuai dengan respons kesatuan untuk sinyal yang diinginkan. Dengan kendala ini, masalah$(1)$ dapat dirumuskan kembali sebagai
$$\min_{\mathbf{w}}\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}\qquad\textrm{s.t.}\qquad \mathbf{w}^H\mathbf{d}=1\tag{2}$$
Kita bisa menyelesaikannya $(2)$ menggunakan metode pengali Lagrange dengan meminimalkan
$$\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}-\lambda(\mathbf{w}^H\mathbf{d}-1)\tag{3}$$
Secara resmi mengambil turunan dari $(3)$ dengan hormat $\mathbf{w}^H$ dan mengaturnya ke nol memberi
$$\mathbf{w}=\lambda\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}\tag{4}$$
Batasan di $(2)$ puas untuk
$$\lambda=\frac{1}{\mathbf{d}^H\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}\tag{5}$$
Dari $(4)$ dan $(5)$ kami akhirnya mendapatkan
$$\mathbf{w}=\frac{\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}{\mathbf{d}^H\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}\tag{6}$$
Perhatikan bahwa penskalaan dalam $(6)$ bersifat opsional dan solusi umum diberikan oleh $(4)$.
Pertama, sketsa solusi untuk masalah beamformer SINR maksimum $$ \text{max}_{\mathbf{w}} \frac{|\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2}{\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}} $$ Mulailah dengan menuliskan fungsional $$ \mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w} $$untuk diminimalkan, dan serangkaian kendala . Memang, vektor bobot w dan w H dianggap sebagai dua set variabel independen saat mengambil turunan yang berkaitan dengan variabel ini; oleh karena itu, energi sinyal keluaran, biasanya ditulis sebagai modulus kuadrat dari produk bersama sinyal bobot, harus dituliskan sebagai fungsi analitik, tanpa menghitung norma yang mengambil akar kuadrat:$$ |\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2 = \mathbf{w}^H\mathbf{d}·\mathbf{d}^H\mathbf{w} $$ Himpunan kendala linier yang dihasilkan adalah $$ \mathbf{w}^H\mathbf{d} = c \\ \mathbf{d}^H\mathbf{w} = c^* $$ dan kita harus menuliskan Lagrangian dengan dua pengali Lagrange, λ dan μ: $$ \mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}-λ(\mathbf{w}^H\mathbf{d}-c)-μ(\mathbf{d}^H\mathbf{w}-c^*) $$Mengambil dua turunan dari Lagrangian - yang pertama, berkenaan dengan w , dan yang kedua, sehubungan dengan w H - kita mendapatkan ekspresi untuk λ dan μ , dan, menggantikannya dengan ekspresi kendala, akhirnya sampai pada rumus untuk bobot:$$ \mathbf{w}=c\frac{\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}{\mathbf{d}^H\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}} $$Yang mengejutkan saya, mencari web untuk "halaman web atau sumber daya lain yang menunjukkan bagaimana menyelesaikan secara analitis beamformer" sesuai permintaan OP, saya hanya dapat menemukan versi singkat dan cacat dari turunan rumus ini, dokumen tipikal menjadi catatan kursus Optimal Beamforming , pengenalan yang rinci dan berguna ke dalam subjek dalam semua aspek lainnya. Saya bahkan curiga bahwa OP memposting pertanyaan dengan tujuan untuk menyiarkan kelalaian sumber belajar ini (maafkan usaha saya yang canggung untuk bercanda).
Untuk saat ini, saya hanya dapat merekomendasikan materi pembelajaran pemrograman kuadrat dengan batasan linier umum kepada siswa yang tertarik dengan beamforming yang optimal. Misalnya, refs.https://www.math.uh.edu/~rohop/fall_06/Chapter3.pdf dan https://www.cis.upenn.edu/~cis515/cis515-20-sl15.pdf. Hanya bentuk kuadrat bernilai nyata yang dipertimbangkan dalam dokumen-dokumen ini, tetapi hasil utamanya dapat digeneralisasikan ke domain kompleks.