Bagaimana cara mengevaluasi integral ganda pada permukaan yang tidak tertutup?

Aug 16 2020

Membiarkan $\vec{F}=(x+2y)e^zi+(ye^z+x^2)j+y^2zk$ dan biarkan $S$ menjadi permukaan $x^2+y^2+z=1$, $z\geq 0$. Jika$\hat{n}$ adalah satuan normal untuk $S$ dan $$\left|\iint_S(\nabla\times \vec{F})\cdot \hat{n}\, dS\right|=\alpha\pi.$$ Kemudian $\alpha=?$

Kita tidak dapat menerapkan teorema divergensi Gauss di sini karena permukaan S tidak tertutup. Lalu bagaimana melanjutkan dalam pertanyaan ini? Tolong bantu.

Jawaban

3 NinadMunshi Aug 16 2020 at 10:51

Perhatikan bahwa batas permukaan adalah kurva $\{(x,y,z):x^2+y^2=1\cap z=0\}$Dengan teorema Stokes jika dua permukaan memiliki batas yang sama maka integral dari lengkungan pada kedua permukaan akan identik. Yaitu

$$\iint\limits_S (\nabla \times F)\cdot dS = \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1 \:\cap\:z=0} (\nabla \times F)\cdot dS$$

dengan orientasi keduanya ke atas atau ke bawah.

Mengapa ini membuat hidup lebih mudah? Sebagai permulaan, Jacobian antara$z=0$ pesawat dan biasa $xy$ koordinat adalah $1$ (Yakubian dari apa pun dari dirinya sendiri ke dirinya sendiri $1$) dan vektor normal hanya menunjuk pada $z$ arah, yang berarti kita bahkan tidak harus menghitung seluruh ikal, hanya $z$ komponen, yaitu

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2x-2e^z$$

Ini memberi kita persamaan berikut

$$\iint\limits_{x^2+y^2\leq 1 \:\cap\:z=0} (\nabla \times F)\cdot dS = \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1}2x-2e^0\:dA = \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1}2x\:dA - \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1}2\:dA$$

$2x$ adalah fungsi ganjil, jadi integralnya akan menghilang pada disk sebesar $x$simetri. Satu-satunya bagian kiri integral adalah konstanta, yang memberi kita luas kali permukaan konstan:

$$\iint\limits_{x^2+y^2\leq 1 \:\cap\:z=0} (\nabla \times F)\cdot dS = -2\pi$$

Jadi $\alpha =2$