Bagaimana cara menggunakan koefisien Tabel Clebsch – Gordan Wikipedia?

Question

Wikipedia memiliki artikel bagus yang menguraikan koefisien Clebsch-Gordan .

Sebagai contoh, untuk pemahaman saya, tabel ini memberi tahu kita cara menggabungkan dua partikel, masing-masing memiliki momentum sudut total maksimum $1$ menjadi satu fungsi gelombang dengan momentum sudut maksimum $2$:

Ambil kolom pertama dari tabel terakhir. Ini memberi tahu kita, saya percaya:

$|2,0\rangle = \sqrt{\frac{1}{6}} |1,1\rangle |1,-1\rangle +\sqrt{\frac{2}{3}}|1,0\rangle|1,0\rangle+\sqrt{\frac{1}{6}} |1,-1\rangle|1,1\rangle$

Bagaimana saya menafsirkan ini:

Momentum sudut total sebuah partikel yang muncul dari kombinasi fungsi gelombang dua partikel lainnya akan memiliki bilangan kuantum sudut total 2 (jadi momentum sudut total $\sqrt{j(j+1)\hbar^2}=\sqrt{2(2+1)\hbar^2}$), tapi $0$ sekitar $z$ sumbu (sebagai $m_j$, yang saya pahami sebagai momentum sudut di sekitar $z$ sumbu, adalah $0$).

Jadi momentum sudut partikel penyusun tidak sejajar satu sama lain, pada kenyataannya mereka cukup antialign sehingga total momentum sudut z-directional menjadi 0.

Apakah interpretasi tentang apa yang terjadi ini benar? Kekhawatiran saya adalah tidak ada tabel untuk$m=-1,-2$. Jika interpretasi saya atas situasinya benar, saya tidak melihat alasan mengapa saya tidak dapat menghasilkan partikel gabungan dengan ini$m$ nilai-nilai, jika saya bisa melakukannya untuk $m=0,1,2$.

Answer 1

Artikel Wikipedia mengatakan yang berikut:

Untuk singkatnya, solusi dengan $M < 0$ dan $j_1 < j_2$dihilangkan. Mereka dapat dihitung menggunakan relasi sederhana$$ \langle j_{1},j_{2};m_{1},m_{2}\mid j_{1},j_{2};J,M\rangle =(-1)^{J-j_{1}-j_{2}}\langle j_{1},j_{2};-m_{1},-m_{2}\mid j_{1},j_{2};J,-M\rangle .$$ dan $$ \langle j_{1},j_{2};m_{1},m_{2}\mid j_{1},j_{2};J,M\rangle =(-1)^{J-j_{1}-j_{2}}\langle j_{2},j_{1};m_{2},m_{1}\mid j_{2},j_{1};J,M\rangle.$$

Dengan kata lain, koefisien Clebsch-Gordon untuk nilai negatif $m$ adalah sama (sampai tanda) dengan nilai positif yang sesuai dari $m$, selama Anda mengganti tanda $m_1$ dan $m_2$ demikian juga.