Bagaimana cara menghitung produk cangkir dari batas turunan / kohomologi presheaf

Question

Saya memiliki kategori terbatas $\mathcal{C}$, bersama dengan functor $F \colon \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{GradedCommRings}$. Jika$F_j$ aku s $j$bagian bertingkat ke- $F$, lalu saya menulis $H^i(\mathcal{C},F_j)$ Untuk $i$-th turunan batas terbalik dari diagram $\mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Ab}$dari kelompok abelian. Sama halnya, itu adalah file$i$-Kohomologi berkas berkas $F_j$, yang saya anggap $\mathcal{C}$ sebagai situs dengan topologi Grothendieck sepele.

Saya telah menghitung berbagai $H^i(\mathcal{C},F_j)$. Merakitnya, harus ada struktur produk cangkir$H^i(\mathcal{C},F_j) \otimes H^{i'}(\mathcal{C},F_{j'}) \to H^{i+i'}(\mathcal{C},F_{j + j'})$. Saya ingin menghitung struktur produk ini.

Satu-satunya metode yang saya ketahui adalah melalui kohomologi berkas, yang melibatkan resolusi eksplisit, produk tensor, dan kompleks total (lihat [1]). Sayangnya, saya tidak memiliki resolusi eksplisit tentang$F$ atau $F \otimes F$: sepertinya terlalu rumit untuk dilakukan dengan tangan, terutama karena saya $F(c)$biasanya dihasilkan tanpa batas. (Dalam perhitungan saya tentang$H^i(\mathcal{C},F_j)$ Saya mengelak ini dengan menggunakan urutan spektral tetapi ini mengaburkan struktur produk.)

Saya dituntun ke pertanyaan-pertanyaan berikut:

• Adakah yang mengetahui metode yang lebih efisien untuk menghitung produk cangkir dari batas kohomologi / turunan presheaf?
• Jika tidak, apakah ada perangkat lunak komputer yang mungkin dapat mengambil alih beberapa tugas yang dijelaskan di atas?

[1]: RD Swan. Produk cangkir dalam kohomologi sheaf, injeksi murni, dan pengganti resolusi proyektif.

Answer 1

Produk cangkir dalam kohomologi sheaf (dan presheaf) sering kali mudah dihitung dengan menentukan sumbernya (misalnya, dalam struktur model proyektif), bukan targetnya. Untuk contoh menyelesaikan sumber dengan cara ini, lihat The Yoneda pairing, hypercohomology, and cup product.

Dalam kasus yang sedang dipertimbangkan, seseorang dapat melengkapi kategori pra-daun kompleks rantai pada C dengan struktur model proyektif. Yang terakhir memiliki fungsi pengganti kofibran eksplisit, yang dapat digunakan untuk menuliskan resolusi proyektif eksplisit. Fungsional penggantian kofibran adalah konstruksi batang klasik yang diterapkan pada sambungan antara pra-daun kompleks rantai pada kompleks rantai berindeks C dan Ob (C).